论文：网络图论在电路分析中的应用.doc

网络图论在电路分析中的应用
物理与电气工程学院 04物理学（5）班 叶中华 学号：1505040

摘　要:进行电路分析时,利用网络图论的方法,能简化运算过程,能把节点方程直接写出,使电路分析的系统化更加便捷。
关键词:网络图论；电路；矩阵分析
一、基本概念
   网络图论又称为网络拓扑学，适应用图的理论,对电路的结构及其连接性质进行分析和研究。

网络的图又称为拓扑图，它是这样定义的：一个图G (Gragh) 是节点（点）和支路（线段）的集合，每条支路的两端都联到相应的节点上。每一条支路代表一个电路元件，或者代表某些元件的组合。如上图（a）、(b) 分别画出了两个具体的电路图及与它们对应的拓扑图，如果给出支路电流和电压的参考方向，可以看出虽然（a）、(b)图中的支路内容或元件性质不一样，但拓扑图是一样的，也就是说列出的KCL,KVL方程是一样的。即
i1=i2 +i3
u1=u2 +u3
u2 =u3
这说明网络的图只与连接结构有关，而与支路元件性质无关。
网络图中所用的几个名词：
(1)   支路：每个元件用一条线段表示，每条线段就是一个支路。也可以将电压源与电阻串联，电流源与电阻并联，作为一条复合支路，即也用一条线段表示。
(2)   节点：线段的端点叫节点。
(3)   图：线段与点的集合即为网络的图。
(4)   有向图:对图中的支路电流指定出参考方向，即为有向图。
(5)   连通图:图中任意两点间至少有一条路径。就叫连通图。
(6)   非连通图:从一点到另一点无路径可走就叫非连通图。
(7)   子图:若图G1的每个节点和支路也是图G的节点和某些支路，则称图G1是图G的一个子图。在图的定义中节点和支路各自是一个整体，因此，允许有孤立节点存在。所以有时会说把一条支路移去，但这并不意味着同时把它所连接的节点也移去；反之，如果把一个节点移去，则应当把它连接的全部支路同时移去。
(8)   自环:图中一条支路连接于一个节点，就叫自环。
(9)   关连:任一支路恰好连接在二个节点上，称此支路与这二个节点彼此关联。

二、回路、树、割集
1、回路-----有图的支路所构成的闭合路径叫回路，但任一回路中的每个节点所关联的支路树应当是2。
2、树-----满足三点构成树：1）包含图的全部节点；2）不包含回路；3）连通的。树的支路叫树支，其余的支路叫连支。
3、割集-----割集的定义如下：对一个连通图切割一组支路应满足拿掉这组支路后（保留节点），原来的图分成两部分，如果少拿掉任意一条支路，图仍然是连通的，则称这组支路为割集。如下面连通图所示，在上面画一个闭合面（高斯面）如虚线所示，3，4，6支路就是一组割集。

三、关联，回路、割集矩阵的概念和求法
1、           关联矩阵A
关联矩阵A表示图G中节点与支路的关联关系，它可以根据网络的有向图直接写出。设有向图的节点数为n 支路数为b，并且把全部节点和支路分别编号。关联矩阵A可用一个的矩阵来描述。它的行对应于节点，它的列对应于支路，它的每一元素 定义如下：

对于同一网络，由于选择不同的参考节点，可以得到不同的关联矩阵A，但公式Ai=0总是成立的。 
             （a）                                (b)

例： (b)的关联矩阵A
解  图(b) 的关联矩阵A

     A=

2、回路矩阵B
基本回路
    树包含图的全部节点，不包含回路，可见对任意一个树，每加一 个连支便形成一个回路。由这个单连支构成的回路就是基本回路，而且这组基本回路又是独立的，因为每一个其它回路包含了一条其它回路所没有的支路。基本回路是单连支回路，但独立回路并不一定是基本回路。
 基本回路矩阵B表示图G中回路与支路的关联关系，它可以根据网络的有向图直接写出。
如果回路中包含某一支路，则称此回路与支路有关联，其基本回路数就是连支数。将图中的回路和支路分别编号，基本回路矩阵B 可用一个的矩阵来表示。它的行对应回路，它的列对应支路，它的每一元素定义如下：

例：列写上图(a)的回路矩阵B ，以3、4、5为树支，则1、2、6是连支，单连支回路为基本回路，方向与连支同方向。

   B=

3、割集矩阵Q
基本割集
   单树支割集就是基本割集。其基本割集个数就是树支个数。
正如独立回路不一定是基本回路一样，独立割集也不一定是基本割集。因此说基本割集是独立割集，但独立割集不一定是基本割集。

基本割集矩阵表示图G割集与支路的关联关系，它也可以根据网络的有向图直接写出，基本割集数就是树支数，将图中的割集和支路分别编号，基本割集矩阵可用一个的矩阵来表示。它的行对应割集，列对应支路，的任一元素定义如下：

关联矩阵A， 回路矩阵B， 割集矩阵Q之间的关系
如果前面讲的三种矩阵A，B和Q都是属于同一个拓扑图，而且支路编号及选树 都一样，可以得到下列几个主要的关系式
ABT = 0   BQT = 0
BAT = 0   QBT = 0

四、节点电压方程的矩阵形式
1、支路电压和节点电压的关系
    在大多数网络中，例如电力系统的潮流计算，电子线路分析等等，其独立节点树往往少于独立回路树，因此，节点电压分析法是目前计算机辅助分析和设计中被广泛应用的一种方法。
      用关联矩阵A表示的KVL的矩阵形式为：
u=ATun
   上式就是支路电压u和节点电压un之间的关系，它说明电路中各支路电压可以用与该支路关联的两个节点电压来表示，这是节点分析法的基本思想。

2、典型支路的分析
网络是由数条支路联接而成的，为使编写网络方程式系统化，需要先将支路规范化。为此 先定义典型支路（也叫标准支路），因为它能代表各种可能的情况或其特例。
典型支路的联接及参考方向如下图所示。图中采用了向量法。并不是说电路中每条支路都必须符合这种规定，可以允许一条支路
缺少某些元件。如果实际支路无电压源时，则将 用短路代替，无电流源时，，则将 以开路代替。若采用运算法，独立源中还可能包含由初始条件引起的附加电源。

节电电压方程的矩阵形式
典型支路的分析
对于第条典型支路可以列出下列方程

可以导出

令                         
则         
如果网络中有条支路，每一支路用列向量表示，即

于是，对整个电路有

所有支路电流的矩阵形式为

而支路电压的矩阵形式为

式中是支路导纳对角矩阵；是支路阻抗矩阵，。
写成向量形式

上面的支路电流的矩阵形式又可写成

或                   
令称为节电导纳矩阵，令称为流入节电的等效电流源列向量，则

上式即为节点电压方程的矩阵形式。
参考文献：
[1] 陈树柏，等，网络图论及其应用，北京：科学出版社，1982。
[2] 沈元隆，电路分析，北京，人民邮电出版社，2004。
[3] 李翰荪，电路分析基础(第二版)，上册，高等教育出版社，1988。
[4] 沈元隆等，电路分析基础，南京，东南大学出版社，1996。
[5] 钟佐华，李灿宏，网络图论和矩阵分析法，北京，人民邮电出版社，1983。
[6] Huelsman L.P. Basic Circuit Tehrory (2nd edition), prentice-Hall. Inc. 1984.
[7] 邱关源，电路（第四版），高等教育出版社，1999。
[8] Van Valkerbarg,M.E, Network Analysis Prentice Hall . Inc ,1974.