航空测绘相机几何标定方法.doc

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航空测绘相机几何标定方法
惠守文 远国勤
(1.中国科学院航空光学成像与测量重点实验室 中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
吉林 长春 130033
摘 要：测绘相机几何标定在航空测绘中具有重要作用，具有测绘功能的相机在使用前必须经过标定。本文首先分析了测绘相机几何标定的基本原理和方法，然后对精密测角算法、改进精密测角算法、三维试验场标定法、张正友标定法、RAC约束标定法及自标定方法进行了具体的分析，并给出了各种标定方法的精度对比及评价分析，可为处于不同环境条件下的航空测绘相机的几何标定提供参考。
关键词：航空测绘；内方位元素标定；针孔模型；外方位元素标定
中图分类号：TH761 文献标识码：A

Development and Prospect of Camera Geometrical Calibration Technology
Hui Shou-wen Yuan Guo-qin
（1. Key laboratory of Airborne Optical Imaging and Measurement, Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033
Abstract: Camera calibration is the process of determining the internal camera optical characteristics (intrinsic parameters) and/or the 3D position and orientation of the camera frame relative to a certain world coordinate system(extrinsic parameters ). Firstly, the fundamental and the classification of the camera calibration technology are introduced in the paper. Then, By comparison and analysis of method of exact measuring angle, method of PAMC, Tsai’s Two stage technique ,Zhang’s method , calibration with DOEs and self- calibration, the accuracy of each method ,as well as the advantages and disadvantages of each method are given in details. Finally, draws a conclusion for the developing trend for the camera calibration.
Key words: aerial mapping camera；intrinsic parameters calibration；pinhole model；Extrinsic parameters calibration

1 引言
测绘相机几何标定的目的是给出将物方三维坐标转换为图像二维平面坐标时所需的元素参数，在航空测绘中具有重要的作用。目前比较常用的几何标定方法均是根据测绘相机对经过精确测量的标定物拍摄的一张或多张像片，得到标定物及相片的相互位置关系，根据一定的约束条件，可由物象位置关系得到一个超定、非线性方程矩阵，通过设置合适的初值对该方程矩阵进行迭代优化求解，计算出测绘相机的待标定元素参数[[] 李德仁，王树根，周月琴.摄影测量与遥感概论[M].北京：测绘出版社，2008
-[] 张涛，黄健.多光谱相机的几何标定方法[J].宇航计测技术，2008，28(4):4-8
[] 刘金国.大视场光电测量系统的精密几何标定和畸变校正的研究[J].光学精密工程，1994，2（4）：109-120
[] 黄 静，高晓东，马文礼，等.大面阵数字航测相机的精密几何标定[J].光电工程，2006，33(2):138-142.
]。
精确标定测绘相机主点、主距等内方位元素从而校正像点至正确成像位置，是实现高精度测绘的一个必要条件，提高航空测绘精度必须要提高测绘相机的几何标定精度。国内外有多种对测绘相机进行几何标定的文献和方法[[] 李德仁,王新华.CCD 阵列相机的几何标定[J].武汉测绘科技大学学报，1997，22(4)：309-313.
-[] WENG J Y. Camera calibration with distortion models and accuracy evaluation[J]. IEEE Transaction On Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1992, 14(10): 965—980.
[] Penna M A. Camera Calibration a Quick and Easy Way to Determine the Scale Factor[J]. IEEE PAM I- B,1991 (12)
]，这在一定程度上反映了测绘相机几何标定的不完善性及对其进行归纳整理的必要性。
本文对近年来国内外比较成熟的6种标定方法的原理、方法进行了简单论述，给出了各种标定方法的优缺点、适用条件及其可达到的精度指标。
2测绘相机几何标定的原理及方法
理想的光学成像模型（pin-hole）应遵循光线的直线传播原理，如图1所示，位于物方视场角的物点应成像在像面的处，但是由于光学元件制造误差、机械装调误差、光学像差的存在，导致光学畸变的产生，物点的像点实际成像在处，因此需要对相机进行几何标定，以纠正像点的2D坐标，提高3D重建的精度。

图1 测绘相机内方位元素标定原理
Fig.1 Geometric drawing of image bundle
目前，国内外具有多种航空测绘相机的几何标定方法，简述如下。
2.1 精密测角算法
精密测角算法是实验室内对测绘相机内方位元素进行几何标定中经常采用的方法，算法直观简洁，精度较高，工作量大，有时需要拍摄数十张照片，数据量较大，同时对实验环境要求苛刻，需要高精度的精密转台，该标定算法适合各种可见光、红外数字测绘相机进行内方位元素几何标定。
精密测角算法标定原理为：将相机置于精密转台上，对经过平行光管的星点成像。光学系统具有畸变时，如图1中所示，处光线的光学畸变为：
(1)
用精密转台改变角度，获取多个角度时的星点及像点位置。通过记录成像时转台角度及像点位置，根据全视场畸变平方和最小，可得主点、主距的计算公式如下：
(2)
采用单轴转台时，可以采用相机翻转90度的方法，获取正交方向主点和主距，以求得的f作为相机的主距。
精密测角算法的精度主要受转台精度和像坐标获取精度的影响，同时，跟采样点数量、分布情况也有关系，不同的实验环境条件可能导致不同的标定精度，文献[[] 刘伟毅，贾继强，丁亚林等. 精密测角法中测量误差对内方位元素标定的影响[J]. 红外与激光工程,2009,38(4):705～709
]对其精度进行了详细的分析，文献[[] 刘波,贾继强,丁亚林. 基于测角法的CCD航测相机实验室几何标定[J]. 激光与红外,2010,40(3),298～301.
]的结论表明，该方法主点、主距标定精度可达到2.51和1.3。
2.2 精密测角改进算法（PAGM 法）
为了避免求解非线性方程，精密测角算法在计算中对式进行了近似简化，带来了理论误差，同时其算法精度对采样点数量、分布状态较敏感。针对上述两个问题，文献[[] 远国勤，丁亚林，惠守文等.基于精密测角法的测绘相机分组渐进标定算法[J].光学学报.2012，32(1):0112005-1~0112005-6
]提出了一种基于精密测角算法的分组渐进算法，在不改变精密测角算法试验环境的条件下，采用分组渐进逼近和权值理论对精密测角算法进行了改进，避免了理论误差及采样点对算法精度的影响，提高了标定精度，该标定算法适合各种可见光、红外数字测绘相机进行内方位元素几何标定。改进算法流程图如图2所示。

图2 PAGM算法流程图
Fig.2 Flowchart of PAGM
分组渐进算法（PAGM 法）首先根据误差传递理论，分析了精密测角算法影响标定精度的误差因素，然后根据最大似然理论确定了各组观测数据的权值，减小了算法的理论误差，同时根据参数一致性约束，消除了观测点状态对标定精度的影响，根据文献[10] 的精度分析方法，该改进算法较传统精密测角算法主点、主距标定精度可提高2.43倍和2.00倍。
2.3 外场控制点标定方法
理想成像条件下, 像点、投影中心和相应地面点间应该满足共线条件方程式，因此可以采用空间后方交会对测绘相机进行几何标定。首先在实验室内或外场布置经过精密测量的三维控制点，相机对控制场中经过精密测定的控制点成像，以物方控制点坐标作为真值，以像点坐标作为观测值，根据中心投影的构象方程对待标定参数元素进行求解[[]黄桂平, 李小勇, 钦桂勤.数码相机内参数的实验场法标定[J].测绘学院学报，2005，22（3）460-461
]，外业操作中，常采用空中三角测量对测绘相机的几何元素进行精密标定。相关数据表明，配备高精度的三维控制场，该算法方位元素标定精度可达到亚像素级。该标定算法理论上可以适合任何类型的测绘相机进行几何标定。
2.4 张正友的标定方法
标定物均位于同一平面时，该标定方法需要相机至少在两个不同的位置（不能是纯平移）对一个标定物成像，根据文献[[] Z. Zhang. A flexible new technique for camera calibration[J].IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell., vol. PAMI-22, 2000(1330-1334)
]结论，标定物可以通过激光打印机进行打印。
张的标定原理算法如下：
物点坐标点P及其投影像点p满足如下成像模型：
(3)
式中为摄影比例系数常量，为外方位元素参数，代表坐标系转换为过程中的旋转及平移；C为测绘相机的内方位元素矩阵。
；
其中，dx、dy分别代表CCD像元在x、y方向的尺寸，，为主点坐标。通过适当的选取坐标系，可以让标定物Z向坐标为零，则根据式可得：

其中，r1、r2代表旋转矩阵R的第1、2行，根据旋转矩阵的正交性，可得：
(4)
式中表示或。
令，=0时，可得：

即M是对称矩阵，定义参数m，令m值如下：

则式可用参数m表示为：
记：此时式可以变换为：
(5)
简写为
从n个不同角度拍摄同一幅标定物，可得2n×6的矩阵V，当时，可以得到超定方程组最优解m，进而可求得得主点、主距如下：

张正友同时给出了畸变系数的迭代求解方法。由于其良好的鲁棒性及不需要精确的标定块，张的标定方法具有较强的实用性。
当标定物位于不同的平面时，式可表达如下：
(6)
此时V为6n×6矩阵，理论上一张图片即可求解所有内方位元素。文献[[]刘伟毅,丁亚林，贾继强，刘波.借助于星点标定相机内方位元素[J] 光学精密工程，2010，18(9)：2086-2089
]根据式对测绘相机的内方位元素进行了求解，主点、主距的标定精度可达到3和7.5。由于该标定算法仅涉及到物象共轭关系中的旋转矩阵，因此适合任何成像关系满足式(7)的可见光、红外，胶片或光电测绘相机。
2.5 基于RAC约束的标定方法
图3给出了RAC约束的示意图，地物点P理论成像点为Pu，由于畸变的影响，实际成像点为Pd，如果成像过程中可以忽略其他畸变向量而只考虑径向畸变,此时向量总平行于光轴上与物点P的Z坐标相同的点指向物点的向量，这就是径向约束。

图3径向约束示意图
Fig.3 Camera Geometry with perspective projection and radial lens distortion
具体求解过程如下：经过刚体平移向量T、旋转变换矩阵R，可求解出地面摄影测量坐标系中点P在相机坐标系中坐标，即：
(8)
为物点P的理想成像，即无畸变时：

成像系统具有径向畸变时，仅取畸变首项时：
系数为畸变系数，由于，可得：

通过设置合适的地面摄影测量坐标系，使P点Z坐标为零，可以得到：

式中r1、r2、r3代表旋转矩阵R的第1、2、3行。当平面中具有个控制点，且大于待求未知数时，根据上式可得到如下超定方程组：

根据最小二乘即求解得出：
，
根据旋转矩阵的单位正交性，可求得旋转矩阵R和刚体平移矩阵T中的x，y元素。然后再根据优化算法再求解主距f，平移向量T的z元素及径向畸变系数的最优值，一般情况下经过很少次（3至5次）迭代即可求解。
基于RAC的标定算法通过将相机内、外方位元素分离求解，只需要一幅照片就可以快速、准确[[] T sai R Y. A Versatile Camera Calibration Technique for High Accuracy 3D Machine Vision M etrology Using off-the-shelf TV Camera and Lenses[J]. IEEE RA ,1987, 3 (4) : 323～ 344
]的对相机的内方位（只考虑径向畸变，这对大部分测绘相机来说是允许的）和外方位元素进行标定，但该算法中未包含主点的求解过程，只能通过其他方法预先给出主点位置。文献[[] R.K. Lenz and R.Y. Tsai. Techniques for calibration of the scale factor and image center for high accuracy 3D machine vision metrology[J]. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell., vol. PAMI-10, 1988(713-720).
]解决了这个问题，给出了确定相机主点位置的3种方法。
文献[[16]M.Bauer,D.GrieBbach,A.Hermerschmidt,et al.. Geometrical camera calibration with diffractive optical elements [J] .J.opy.soc. 2008,16(25)：20243~20248
]给出了一种利用激光发生器、衍射光学元件的标定方法。利用衍射光学元件将波长为的激光束分离成一系列已知方向的平行激光束，利用RAC约束模型进行求解。根据该文献，内方位元素标定的均方根误差不大于2。
基于RAC约束的标定方法只有在仅考虑径向畸变时才成立，因此，该标定算法只适合精密装调的测绘相机（此时其他畸变数值较小）或者对精度要求不高的测绘相机。
2.6 自标定方法
上述标定方法均需在待标定相机前放一个已知标定参照物，定标过程就是依据物体上的一些已知点的三维坐标及其图像点坐标，计算待标定相机的内外参数。但是在某些场合，由于相机的某些参数（例如焦距等）需要经常调节，在每次调节后均需对相机进行标定，很多场合下不可能在相机前放置标定参照物，近年来，一种不需要定标参照物的自标定（self calibration）技术受到了很大的重视，并取得了巨大的发展，当前具有代表性的自标定算法主要有：根据本质矩阵、基本矩阵进行自标定的方法[[17] Longuet-Higgins H C. A computer algorithm for reconstructing a scene from two projections[J].Nature,1981,293(10):133~135
]；根据绝对二次曲线、二次曲面的自标定方法；利用主动视觉的自标定方法[[18] Caprile B,Torre V.Using vanishing points for camera calibration[J]. Int’l. J Computer Vision,1990,4(2):127~140
];根据消隐点或消隐线的自标定方法[[19] Ma S D. A Self-calibration technique for active vision system[J]. IEEE Trans Robotics and Automation,1996,12(1): 114~120
]等。自标定方法算法复杂，运算量较大，方程解不稳定，在高精度的测绘相机中，一般不太常用。
3 结论
本文简要介绍了测绘相机内方位元素标定的6种方式，应当指出的是，按照不同的分类方法，内方位元素标定方法具有不同的种类。
随着测绘技术的发展，未来必将有更简洁、方便、及高精度的标定算法出现。测绘相机几何元素标定技术也将会取得进一步发展：首先，对标准标定物精度的要求将会越来越低，甚至不需要标准标定物；其次，物理模型更加合理，算法更趋于简洁，易于实现；最后，由于测绘相机使用工程中必需的调焦、像移补偿等动态过程，内方位元素标定必将向实时、在线的标定方式发展。
随着航空测绘与计算机视觉技术的快速发展，研究高精度、快速、方便的内方位元素标定技术势在必行，内方位元素的标定装置也在逐步成熟和迅速发展中。本文总结了航空测绘相机多种几何标定方法，并给出了各种标定技术所能达到的精度及标定流程，实际使用中可根据所需的精度及环境条件，采用或设计不同类型、不同用途的测绘相机标定装置，以确保所需的测绘精度。

参考文献：