第七章钢筋混凝土偏心受力构件承载力计算.docx

第七章 钢筋混凝土偏心受力构件承载力计算本章的基本要求：
1、了解偏心受压构件的受力特性；掌握两类偏心受压构件的判别方法；
2、熟悉偏心受压构件的二阶效应及计算方法；
3、掌握两类偏心受压构件正截面承载力的计算方法；
4、了解双向偏心受压构件正截面承能力计算；
5、掌握偏心受拉构件的受力特性及正截面承载力计算；
6、掌握偏心受力构件斜截面受剪承载力计算。
偏心受力构件：偏心受力构件是指纵向力N作用线偏离构件轴线或同时作用轴力及弯矩的构件，包括偏心受压构件见图7-1（a）、（b）和偏心受拉构件见图7-1（c）、（d）。

图7-1 偏心受力构件受力形态
工程中大多数竖向构件（如单层工业厂房的排架柱，多层及高层房屋的钢筋混凝土墙、柱等）都是偏心受压构件；而承受节间荷载的桁架拉杆、矩形截面水池的池壁等，则属于偏心受拉构件。
钢筋混凝土偏心受压构件多采用矩形截面，截面尺寸较大的预制柱可采用工字形截面和箱形截面，公共建筑中的柱多采用圆形截面。偏心受拉构件多采用矩形截面。

图7-2 偏心受力构件的截面形式
§7-2 偏心受压构件正截面承载力计算
一、偏心受压构件正截面的破坏特征
（一）破坏类型
大量试验表明：构件截面中的符合平截面假定，偏压构件的最终破坏是由于混凝土压碎而造成的。其影响因素主要与偏心距的大小和所配钢筋数量 有关。通常，钢筋混凝土偏心受压构件破坏分为2种情况
1、受拉破坏：当偏心距较大，且受拉钢筋配置得不太多时，发生的破坏属大偏压破坏。这种破坏特点是受拉区、受压区的钢筋都能达到屈服，受压区的混凝土也能达到极限压应变，如图7—2a 所示。
2、受压破坏：当偏心距较小或很小时，或者虽然相对偏心距较大，但此时配置了很多的受拉钢筋时，发生的破坏属小偏压破坏。这种破坏特点是，靠近纵向力那一端的钢筋能达到屈服，混凝土被压碎，而远离纵向力那一端的钢筋不管是受拉还是受压，一般情况下达不到屈服。如图7—2b 、c 所
图7-3 受拉破坏和受压破坏时的截面应力
（二）界限破坏及大小偏心受压的分界
1、界限破坏
在大偏心受压破坏和小偏心受压破坏之间，从理论上考虑存在一种“界限破坏”状态；当受拉区的受拉钢筋达到屈服时，受压区边缘混凝土的压应变刚好达到极限压应变值。这种特殊状态可作为区分大小偏压的界限。二者本质区别在于受拉区的钢筋是否屈服。
2、大小偏心受压的分界
由于大偏心受压与受弯构件的适筋梁破坏特征类同,因此,也可用相对受压区高度比值大小来判别。

当 时，截面属于大偏压；
当时,截面属于小偏压;
当时，截面处于界限状态。
（三）弯矩和轴心压力对偏心受压构件正截面承载力的影响
偏心受压构件是弯矩和轴力共同作用的构件。弯矩与轴力对于构件作用彼此之间相互牵制，对于构件的破坏很有影响。如对给定材料、截面尺寸和配筋的偏心受力构件，在达到承载力极限状态时，截面承受的轴力与弯矩具有相关性，即构件可以在不同的轴力和弯矩组合下达到承载力极限状态。具体讲，在大偏压破坏情况下，随着构件轴力的增加，构件的抗弯能力提高，但在小偏心受压破坏情况下，随着构件轴力的增加，构件的抗弯能力反而减小，而在界限状态时，一般构件能承受弯矩的能力达到最大值（图7－4）。
﹡在小偏心受压情况下，随着轴向压力的增大，截面所能承担的弯矩反而降低。

图7-4 Nu~Mu相关曲线
（四）附加偏心距
由于工程中实际存在着荷载作用位置的不定性，混凝土的不均匀性及施工的偏差等因素，都可能产生附加偏心距。因此，在偏心受压构件正截面承载力计算中，应计入轴向压力在偏心方向存在的附加偏心距，其值应取20mm和偏心方向截面尺寸的1/30两者中的较大值。引进附加偏心距后，在计算偏心受压构件正截面承载力时，应将轴向力作用点到截面形心的偏心距取为，称为初始偏心距。
（7-1）
（五）偏心受压构件的二阶效应
﹡在有侧移框架中，﹡在无侧移框架中，
（7-2b） 式中 ——初始偏心距；
——构件的计算长度；
——截面高度；其中，对环形截面，取外直径；
对圆形截面，取直径；
——截面的有效高度；
——偏心受压构件截面曲率修正系数；当
时，取；
——构件长细比对截面曲率的影响系数；当
时，取；
——构件截面面积；矩形截面；对于T形和工字形 截面，均取；
——轴向压力设计值。 图7-6
﹡当偏心受压构件的长细比l0/i≤17.5（对应的矩形截面为l0/h ≤5）时，可取h=1.0；当l0/i>17.5时，要按上式计算。

0.4 0.6 0.6。按这样求得的内力可直接用于截面设计，ei不需要再乘h系数。
二、偏心受压构件正截面承载力计算
（一）矩形截面非对称配筋构件正截面承载力 1、基本计算公式及适用条件：

(1)大偏压（）：
， （7-3）
， （7-4）
（7-5）
注意式中各符号的含义。
公式的适用条件：
（7-6）
（7-7）
界限情况下的：
（7-8）
当截面尺寸、配筋面积和材料强度为已知时，为定值，按式（7-8）确定。
(2)小偏压（）：
（7-9）
（7-10）
式中根据实测结果可近似按下式计算：
（7-11）
注意：﹡基本公式中条件满足时，才能保证受压钢筋达到屈服。当时，受压钢筋达不到屈服，其正截面的承载力按下式计算。
（7-12）
为轴向压力作用点到受压纵向钢筋合力点的距离，计算中应计入偏心距增大系数。
﹡﹡矩形截面非对称配筋的小偏心受压构件，当N >fcbh时，尚应按下列公式验算：
（7-13）
（7-14）
式中，——轴向压力作用点到受压区纵向钢筋合力点的距离；
——纵向受压钢筋合力点到截面远边的距离；
2、垂直于弯矩作用平面的受压承载力验算
当轴向压力设计值N较大且弯矩作用平面内的偏心距较小时，若垂直于弯矩作用平面的长细比较大或边长较小时，则有可能由垂直于弯矩作用平面的轴心受压承载力起控制作用。因此，《规范》规定：偏心受压构件除应计算弯矩作用平面的受压承载力外，尚应按轴心受压构件验算垂直于弯矩作用平面的受压承载力，此时，可不计入弯矩的作用，但应考虑稳定系数的φ影响。
（7-15）
3、公式的应用——矩形截面非对称配筋的计算方法
计算可分为截面选择（设计题）和承载力验算（复核题）两类。
（1）截面选择（设计题）
截面设计一般指配筋计算。在As及在未确定以前，ξ值是无法直接计算出来的。因此就无法用ξ和ξb做比较来判别是大偏压还是小偏压。根据常用的材料强度及统计资料可知：在一般情况下，当ηei>0.3h0时，可按大偏压情况计算As及；当ηei≤0.3h0时，可按小偏压情况计算As及；同时，在所有情况下，As及还要满足最小配筋的规定；同时（As+）不宜大于0.05bh0。
1）大偏心受压（ηei>0.3h0）
情况1：As及均未知；
可利用基本公式(7-3)，(7-4)计算，但有三个未知数As、和 ξ，即要补充一个条件才能得到唯一解。通常以As+的总用量为最小作为补充条件，就应该充分发挥受压混凝土的作用并保证受拉钢筋屈服，此时，可取ξ=ξb。
情况2：已知求As
此时，可直接利用基本公式(7-3)，(7-4)求得唯一解，其计算过程与双筋矩形截面受弯构件类似，在计算中应注意验算适用条件。
举例：p197 例7-1。
2）小偏心受压（ηei < 0.3h0）
情况1：As及均未知
由基本公式（7-9），（7-10）及式（7-11）可看出，未知数总共有四个As、、σs和 ξ，因此要得出唯一解，需要补充一个条件。与大偏压的截面设计相仿，在As及均未知时，以As+为最小作为补充条件。
而在小偏压时，由于远离纵向力一侧的纵向钢筋不管是受拉还是受压均达不到屈服强度（除非是偏距心距过小，且轴向力很大），因此，一般可取As为按最小配筋百分率计算出钢筋的截面面积，这样得出的总用钢量为最少。故取：。这样解联立方程就可求出。
情况2：已知As求，或已知求As
这种情况的未知数与可用的基本公式一致，可直接求出ξ和Ａs或。
（2）承载力验算（复核题）
进行承载力校核时，一般已知b、h、As及，混凝土强度等级及钢筋级别，构件长细比l0/h，轴心向力设计值N和偏心距e0，验算截面是否能承受该N值，或已知N值时，求能承受的弯矩设计值Mu。
显然，需要解答的未知数为N和ξ，它与可利用的方程数是一致的，可直接利用方程求解。
求解时首先须判别偏心受压类型。一般先从偏心受压的基本公式（7-3），（7-4）或（7-9），（7-10）中消去N，求出x或ξ，若x≤ξbh0(或ξ≤ξb)，即可用该x或ξ进而求出N；若x>ξbh0(或ξ>ξb)，则应按小偏心受压重新计算ξ，最后求出N。
举例：例7-2。
（二）对称配筋矩形截面的配筋计算及复核
对称配筋是实际结构工程中偏心受压柱的最常见的配筋方式。例如框架柱、排架柱和剪力墙等。由于其控制截面在不同的荷载的组合下可能承受正、负弯矩作用，即截面中的受拉钢筋在反向弯矩作用下将变为受压，而受压钢筋则变为受拉。为了便于设计及施工，这种截面常采用对称配筋，即取As=，as=，并且采用同一规格的钢筋，对于常用的普通热轧钢筋HPB235、HRB335、HRB400和RRB400，由于fy=，因此在大偏心受压时，均有fyAs=（当2≤x≤ξbh0，或2/h0≤ξ≤ξb 时）；对于小偏压，由于一侧钢筋应力达不到屈服，情形则较为复杂。
1、截面选择
对称配筋情况下，大小偏压的界限破坏荷载为（当x=xb或ξ=ξb时）
（7-16）
因此，当轴向力设计值N>Nb时，截面为小偏压；当N≤Nb时，截面为大偏压。
1) 大偏压计算（ξ≤ξb）
（7-17）
（7-18）
联立求解：
当x<2时，可按不对称配筋计算方法一样处理。
当x>xb(或ξ>ξb)时，则认为受拉钢筋As达不到屈服强度，而属于小偏压情况，就不能用大偏压的计算公式进行配筋计算，此时可采用小偏压公式进行计算。
2) 小偏压计算（ξ>ξb）
由基本公式（7-9）,（7-10）取As=，fy=, as=，可得ξ的三次方程，解出ξ后，即可求得配筋，但过于繁琐。《规范》建议ξ可按下列公式计算：
（7-19）
代入得： （7-20）
2、承载力复核
可按不对称配筋的承载力复核方法进行计算。但取As=，fy=。
举例：p199，例7-3，7-4。
﹡通常从上面的计算结果可看出，对某一组特定的内力（M，N）来讲，对称配筋截面的用钢量要比非对称配筋截面的用钢量多一些。
（三）工字形截面偏心受压构件正截面承载力计算
在单层工业厂房中有可能使用截面尺寸较大的排架柱。为了节省混凝土和减轻结构自重，常把这类柱设计成对称的工字形。工字形截面偏心受压构件的受力和破坏特征以及计算原则与矩形截面受压构件相同，只不过由于截面形状不同，其计算公式的形式有些差别。由于在实际工程中，多采用对称配筋，所在这里只介绍对称配筋的计算公式。
1、大偏压工字形截面的计算（设计）
在轴向力N及弯矩M作用下，x ≤ ξbh0，此时有2种情况，即x≤及x≥（图7-8）。

图7-8
1) 当x ≤ 时，其截面应力图形与高度为h，宽度为的的矩形截面完全相同，根据对称配筋的平衡条件，得：
（7-21）
（7-22）
（7-23a）
或 （7-23b）
当此时上式变为：
（7-24）
2）当< x ≤ ξb时，截面受压区为T形，根据平衡条件，得：
（7-25）
（7-26）

（7-27）
（7-28）
﹡由式(7-27)，式(7-28)可看出，与矩形截面对称配筋计算公式是非常相似的。只是将矩形截面尺寸计算公式中的N改为，将Ne改为而已。
2、小偏压工字形截面的计算
当时，肯定为小偏压。见图7-9。

图7-9 小偏心受压工字形截面对称配筋
列出平衡方程：
（7-29）
（7-30）
（7-31）
这样就可按矩形截面对称配筋解出ξ及。
但由于是对称配筋，直接可给出公式如下：
（7-32）
（7-33）
[例7-5] 一钢筋混凝土排架柱，截面尺寸如图7—9所示。该柱的控制截面承受N=950kN，M=398kN•m。采用C30混凝土（fc=14.3N/mm2）和热轧钢筋HRB400（fy==360N/mm2,ξb=0.518），as==35mm，柱计算长度l0=8.5m。若采用对称配筋，试确定所需钢筋的截面面积As及。（注：hf近似按100mm计算）
解：
1. 判别大小偏心受压；
先按矩形截面计算受压区高度x

改按T形受压区计算；

故截面属于大偏心受压。
2. 计算偏心距增大系数η
e0=M/N=398000/950=418.9mm>0.3h0=0.3×765=229.5mm
因为h/30=800/30=26.67mm 所以 ea=26.67mm
ei=e0+ea=418.9+26.67=445.6mm

l0/h=8000/800=10<15 ζ2=1.0

3．计算纵向钢筋的截面面积As及
根据公式

每侧纵向钢筋实选4 16，As==804mm2，配筋图见下图。

（例7-5）
[例7-6]一根钢筋混凝土柱，条件与例题[7-5]相同，仅作用内力改为N=1480kN，M=230kN•m。若采用对称配筋，试确定所需钢筋的截面面积As及。
解：
1. 判别大小偏压
根据公式：

故截面属于小偏心受压。
2. 计算偏心距增大系数η
e0=M/N=230000/1480=155.4mm<0.3h0=0.3×765=229.5mm
因为h/30=800/30=26.67mm 所以 ea=26.67mm
ei=e0+ea=155.4+26.67=182.1mm

l0/h=8500/800=10.63<15 ζ2=1.0

3. 计算纵向钢筋的截面面积As及
e=ηei+h/2-as=1.23×182.1+800/2-35=589mm
根据公式：

排架柱纵筋直径一般要求不小于16mm,考虑工字形特点，实取纵筋每侧4 18，（As==1017mm2）
5. 验算轴心受压承载力

查表得：φ=0.58
则：
三、双向偏心受压构件正截面承载力计算

直接计算复杂，常采用倪克勤方法近似计算。该法假定材料处于弹性阶段，在轴压、单偏压、双偏压情况下，截面应力都能达允许应力[s]，由材料力学可得：
由上式得： （7-38）
或 （7-39）
（7-40）
﹡公式(7-40)是一个截面承载力复核式。因此，设计时要先假定截面尺寸、材料强度和配筋多少，然后按式该式核算，至满足时为止。

§7-3 偏心受拉构件正截面承载力计算
由于工程中出现的偏心受拉构件截面多为矩形，故下面只讨论矩形截面偏受拉构件的设计问题。
一、偏心受拉构件的分类
按照偏心拉力的作用位置不同，偏心受拉构件可分为小偏心受拉和大偏心受拉两种（见图7-11）。
当作用力N出现在As和之间（即e0<h/2-as）时，为小偏心受拉；当作用力N作用于As与范围以外（即e0>h/2-as）时，为大偏心受拉。见图7-11；同时规定，As为离偏心拉力较近一侧纵筋截面面积，为离偏心拉力较远一侧纵筋截面面积。

(a)小偏心受拉 (b)大偏心受拉
图7-11 偏心受拉构件正截面承载力计算图形
二、偏心受拉构件的破坏特点
根据截面中作用的弯矩和轴向拉力比值不同，即轴向拉力偏心距e0=M/N的不同，把它的受力性能看作是介于受弯（N=0）和轴心受拉（M=0）之间的一种过渡状态。当偏心距很小时，其破坏特点与受弯构件类似。
1、小偏心受拉
在小偏心拉力作用下，整个截面混凝土都将裂通，混凝土全部退出工作，拉力由左右两侧纵筋分担。当两侧纵筋达到屈服时，截面达到破坏状态。
2、大偏心受拉
由于轴向拉力作用于As与范围以外，因此大偏心受拉构件在整个受力过程中都存在混凝土的受压区。破坏时，裂而不会裂通；当As配置适量时，破坏特点与大偏心受压破坏时相同；当As配置过多时，破坏类似于小偏心受压构件。当x ≤ 2时，也不会受压屈服。
三、偏心受拉构件正截面承载力计算
1、小偏心受拉
计算简图如图7-11a所示，分别对As及取矩，截面两侧的钢筋As与可以从下两式求得：
（7-41）
（7-42）
式中， e——轴向拉力作用点至As合力点距离，e=h/2-e0-as；
——轴向拉力作用点至合力点距离，=h/2+e0-as；
e0——轴向力对截面重心的偏心距，e0=M/N。
2、大偏心受拉
计算简图如图7-11b所示，由平衡条件得：
（7-43）
（7-44）
式中， e——轴向拉力作用点到As合力点距离，e=e0-h/2+as。
公式适用条件为：
x ≤ ξbh0 （7-45）
x ≥ 2 （7-46）
在设计截面时，若在上述公式中取x=ξbh0，则能使求得As和总用钢量较少。若求得<时，则取=，然后根据为已知条件再计算As。当求得x<2时，可近似地取x=2，此时As可直接从下式求出
（7-47）
式中， =h/2+e0-。
[例7-7]一根钢筋混凝土偏心受拉构件，截面为矩形，b×h=250×400mm，截面所承受的纵向拉力设计值N=550kN，弯矩设计值M=65 kN•m。若混凝土强度等级为C20（fc=9.6N/mm2），采用热轧钢筋HRB400（fy= =360N/mm2,ξb=0.518），as==35mm，试确定截面所需的纵筋数量。
解：
1. 判别大小偏拉情况

故属于小偏心受拉，所以此时钢筋的应力的设计值只能取300 N/mm2，而不能取360 N/mm2。
2. 计算纵向钢筋数量
e=h/2-e0-as=400/2-118-35=47mm
=h/2+e0-as=400/2+118-35=283mm
根据公式：

3．选择钢筋
在靠近偏心拉力一侧实选纵筋4 22，As=1520mm2，
在远离偏心拉力一侧实选纵筋2 14，=308mm2
均大于规范的最小配筋率=0.002，ρmin=0.002或0.45ft/fy中的较大者。
==0.002×250×400=200mm2
Asmin=ρminbh=0.002×250×400=200mm2
Asmin=0.45(ft/fy) ×bh=0.45×(1.1/360) ×250×400=138mm2
均满足要求。截面配筋如图。

[例7-8]钢筋混凝土截面为矩形受拉构件，其截面尺寸为b×h=250×140mm，as==25mm，拉力设计值N=120kN，弯矩设计值M=9.6 kN•m。若混凝土强度等级为C20（fc=9.6N/mm2，ft=1.10N/mm2），采用热轧钢筋HRB400（fy= =360N/mm2，ξb=0.518），试确定截面所需的纵筋数量。
解：
1.判别大小偏拉情况

故属于大偏心受拉
2. 计算纵向钢筋数量
e=e0-h/2+as=80-70+25=35mm
=e0+ h/2-=80+70-25=125mm
3.为使（As+）为最小时求As及，故取ξ=ξb=0.518
x=ξbh0=0.518×115=59.57mm

取==0.002×200×140=56mm2 或
=0.45(ft/fy) ×bh=0.45×(1.1/360) ×200×140=38.5mm2
中的较大值；
故选为2 12（=226mm2）
现在题目变成了已知求As的问题；
由式

x=ξbh0
求得：

即
故
选As为3 14（As=462mm2）

§7-4 偏心受力构件斜截面受剪承载力计算
一、偏心受压构件斜截面抗剪强度计算
（一）试验研究分析
在偏心受压构件中一般都伴随有剪力作用。试验表明，当轴向力不太大时，轴向压力对构件的抗剪强度起有利作用。这是由于轴向压力的存在将使斜裂缝的出现相对推迟，斜裂缝宽度也发展得相对较慢。当N/fcbh在0.3-0.5范围内时，轴向压力对抗剪强度的有利影响达到峰值；若轴向压力更大，则构件的抗剪强度反而会随着N的增大而逐渐下降。
（二）偏心受压构件斜截面承载力计算公式
1、计算公式
（7-48）
式中：λ——偏心受压构件计算截面的剪跨比；
N——与剪力设计值V相对应的轴向压力设计值，当N>0.3fcA时，取N=0.3fcA，A 为构件的截面面积。
2、计算剪跨比的取值
对各类结构的框架柱，宜取；对框架结构中的框架柱，当其反弯点在层高范围内时，可取；当λ<1时，取λ=1；当λ>3时，取λ=3；此处Hn为柱净高，M为计算截面上与剪力设计值V相应的弯矩设计值。
对其它偏心受压构件，当承受均布荷载时，取λ=1.5；当承受集中荷载时（包括作用有多种荷载且集中荷载对支座截面或节点边缘所产生的剪力值占总剪力值75%以上时），取λ=a/h0；当λ<1.5时，取λ=1.5；当λ>3时，取λ=3；此处，a为集中荷载至支座或节点边缘的距离。
3、公式的适用条件
为了防止箍筋充分发挥作用之前产生由混凝土的斜向压碎引起的斜压型剪切破坏，框架柱截面还必须满足下列条件：
V ≤ 0.25βcfcbh0 （7-49）
当满足 （7-50）
条件时，框架柱就可不进行斜截面抗剪强度计算，按构造要求配置箍筋。
二、偏心受拉构件斜截面抗剪强度计算
（一）试验研究分析
在偏心受拉构件截面中一般也有剪力作用。特别是弯矩较大的大偏心受拉构件中，相应的剪力一般也比较大，故偏心受拉构件也须进行斜截面抗剪强度计算。试验表明，由于轴向拉力的存在，将使构件的抗剪能力明显降低，而且降低的幅度随轴向拉力的增加而增大。
（二）偏心受拉构件斜截面承载力计算公式
(7-51)
式中， N——与剪力设计值V相应的轴向拉力设计值；
λ ——计算截面剪跨比。
当右边的计算值小于时，应取等于，且值不得小于。