湘教版八年级数学平方根教案5.doc

平方根
教学目标
　　1.使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；
　　2.掌握用平方运算求某些数的平方根的方法.
教学重点和难点
　　重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法。
　　难点：平方根的概念.
教学过程设计
　　一、导入新课
　　我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这
五种运算是无法解决的.例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方.这节课我们就要学习开方运算和平方根.
　　二、新课
　　计算:42;　　(－4)2;　　(23)2;　（-23）2；　(0.8)2;　　(－0.8)2;　　　
　　答42=16;　(－4)2=16;　(23)2=49;　(－23)2=49；　(0.8)2=0.64；　(－0.8)2=0.64.
　　问：什么叫乘方?什么叫幂?
　　答：求相同因数的积的运算叫做乘方，运算的结果叫做幂.在式子42=16中，4叫做底数，2叫做指数，16叫做4的二次幂.
　　乘方运算是已知底数和指数，求幂.
　　如果已知一个数的平方等于16，怎样求这个数？我们可以设这个数为x，则x2=16，问题归结为求x.这个问题可以通过乘方运算来解决.
　　因为42=16所以x=4；又因为(－4)2=16，所以x=－4.4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2=16.
　　因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根.
　　1.平方根.
　　一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根).就是说，如果x2=a,那么x就叫做a的平方根.
　　如23与－23都是49的平方根.因为(±23)2=49，所以±23是49的平方根.
　　问：100的平方根是什么?1 100呢?
　　答：100的平方根是10与－10.因为(±10)2=100,所以10与－10是100的平方根.
1 100的平方根是1 10与－1 10.因为(±1 10)2=1 100，所以1 10与－1 10是1 100的平方根.
　　上面例子可以看到求一个数的平方根，可经转化为通过乘方运算来求.
　　问：16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系?
　　答：这些数都是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数.
　　问：0的平方根是什么?
　　答：0的平方根是0，这是因为02=0.由于任何不为零的数的平方都不等于零，所以零的平方根只有一个，它就是零本身.
　　问：负数有平方根吗?为什么?
　　答：负数没有平方根.由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.
　　请同学概括数的平方根的定义.
　　答：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.
　　2.一个非负数a的平方根的表示法.
　　当a>0时，a的正的平方根用符号“2 a”表示，其中a叫做被开方数，2叫做根指数，a的负的平方根用符号“－2a”表示，这两个平方根合起来可以记作“±2a”.这里符号“2”读作“二次根号”，2a读作“二次根号a”.当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如2a记作a，读作“根号a”；±2a记作±a，读作“正负根号a”.
　　一般地，如果x2=a(a≥0)，那么a的平方根可以表示为x=±a.
　　例如，9的平方根记作±9，读作正负根号9.
　　那么3a的根指数是3，应读作三次根号a，na的根指数是n，读作n次根号a.
　　3.开平方.
　　求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方.开平方运算是已知指数和幂求底数.
　　平方与开平方互为逆运算.一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0.但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0.负数没有平方根.
　　因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通
过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根.
　　例1 求下列各数的平方根：
　　(1)81；　　(2)1916；　(3)0.09.　
　　分析：求平方根是开方运算，我们可以通过平方运算来解决.
　　解 (1)因为(±9)2=81，所以81的平方根是±9，即
　　　　　　　　　　　　　　±81=±9.
　　　　(2)因为19 16=25 16，(±54)2=25 16，所以1916的平方根是±54，即
　　　　　　　　　　　　±1916=±2516=±54.
　　(3)因为(±0.3)2=0.09，所以0.09的平方根是±0.3，即
　　　　　　　　　　　　±0.09=±0.3.
　　例2 下列各数有平方根吗?如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由.
　　　　(1)－64;　　(2)0;　　(3)(－4)2　　(4)10－2.
　　分析：因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0.
　　解 (1)因为－62是负数，所以－64没有平方根；
　　　 (2)0有一个平方根，它是0；
　　　 (3)因为(－4)2=16＞0，所以(－4)2，有两个平方根，且±(－4)2=±16=±4;
　　　 (4)因为10－2=1 102 >0所以10－2有两个平方根，且
　　　　　　　　　　±10 －2=±(1 10)2=±1 10.
　　问：(1)－42有平方根吗? (2)(－4)2与－4相等吗?为什么?
　　答：(1)因为－42=－16是负数，所以－42没有平方根.
　　　　(2)因为(－4)2=16=4，16是(－4)2的正的平方根，所以等于4，而不等于－4.
　 三、课堂练习
　　1.填空：
　　(1)因为(±37)2=9 49所以______是______的平方根;
　　(2)因为(±0.6)2=0.36,所以______是______的平方根;
　　(3)(－2)2的平方根是 ,(12)2的平方根是 ;
　　(4)0.0081的平方根是 ，10－6的平方根是 .
　　2.求下列各数的平方根：
　　(1)49 81；　　(2)25 64；　　(3)1.44；　　(4)49×10－4.
　　3.判断下列说法是否正确?
　　(1)0的平方根是0；　　　　(2)1的平方根是1；
　　(3)－1是1的平方根；　　　 (4)－1的平方根是－1；
　　(5)(－1)2的平方根是－1.
　　答案：
　　1.(1)±37 是9 49 的平方根；　　(2)±0.6是0.36的平方根；
　　(3)(－2)2的平方根是±2；(12)2的平方根是±12；
　　(4)0.0081的平方根是±0.09；10－6的平方根是±10－3.
　　2.(1)49 81 的平方根是±1.2；　　(2)25 64的平方根是±5 8；
　　(3)1.44的平方根是±79；　　(4)49×10－4=0.0049，平方根为±0.07.
　　3.(1)正确；(2)错误，1的平方根是±1；(3)正确；　(4)错误，－1没有平主根；(5)错误，因为(－1)2=1，1的平方根是±1.
　　四、小结
　　1.如果x2=a,那么x就叫做a的平方根，用±a来表示.
　　当a＞0时，a有两个平方根，即±a，a表示a的正的平方根,－a表示a的负的平方根，它们互为相反数；当a=0时，a有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根.
　　2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系.区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数.在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的.
　　平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算.
　　求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决.
　　五、作业
　　(一)选择题：
　　1.在四个数0，－9，2，(－2)2中，有平方根的是(　　).
　　A.0与－9；　　B.0，－9和(－2)2；　　C.0与(－2)2；　　D.0，2和(－2)2.
　　2.数16的平方根是(　　).
　　A.4；　　B.16；　　C.－4；　　D.4或－4.
　　3.数0.25的平方根是(　　).
　　A.0.5；　　B.0.05；　　C.－0.5；　　D.0.5或－0.5.
　　4.数1 79的平方根是(　　).
　　A.49或－49；　　B.43或－43；　　C.113；　　D.179.
　　5.数(－6)2的平方根是(　　).
　　A.－6；　　 B.6；　　C.6或－6.　　D.无平方根.
　　(二)填空题：
　　1.数61925的平方根是 ；
　　2.数0.0196的平方根是 ；
　　3.数11549的负的平方根是 ；
　　4.数(－2.2)2的平方根是 ；
　　5.－0.13是 的负的平方根.
　　(三)写出下列各数的平方根.
　　121，144，169，196，225，256，289，324，361.
　　答案：
(　　(一)1.D；　　2.D；　　3.D　　4.B　　5.C
　　 (二)1.±135；　　2.±0.14；　　3.-87；　　4.±2.2；　5.0.0169.
　　 (三)±11；±12；±13；±14；±15；±16；±17；±18；±19.