实数的计算技巧拓展课.doc

课程主题： 实数的计算技巧拓展课

课程目标：
1、了解实数计算的常用方法：公式法、裂项相消法、因式分解法、整体换元法、构造法等。
2、能较好地在解题时运用上述方法，提高数学计算的能力。
课时安排：1课时
教具准备：
教学过程：
数从自然数、分数扩展到有理数、实数后，数的运算从内涵到法则都发生了变化，需重新建立，这种数的运算的变化主要是增加了负数，无理数。而且实数的运算也是代数式四则运算的重要基础，因此在初一教学中的地位是至关重要的。实数的运算主要包括：实数的相反数、绝对值和倒数的运算，实数的加、减、乘、除、乘方混合运算以及新概念、新运算律的计算。然而实数的计算题型复杂多样，解题方法灵活多变，远不止这些运算法则，常用的方法有公式法、裂项相消法、因式分解法、整体换元法、构造法等等。
特别补充：
（1） 数列：若干个数按照一定的顺序排列起来就是一个数列。例如：1,2,3,4,5；1,4,9,16,25； 3,5,7,9,11,13。
（2） 等差数列：任意相邻的数之间的差都相等，我们就把这个数列称为等差数列。
（3）等比数列：任意相邻的数之间的比都相等，我们就把这个数列称为等比数列。

典型例题
一、公式法之求和公式 ：

若是差不为1的等差数列求和则是：（首项+尾项）*项数/2，这些公式其实已经在小学就掌握了。
例1：电影院有28排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有100个座位，这个电影院共有多少个座位？
分析：因为后排都比前排多2个座位，所以第2排比第1排多2个座位，第3排比第1排多4（2*2）个座位，第4排比第1排多6（3*2）个座位，依次类推，第n排就比第1排多（n-1）*2个座位，所以最后一排比第一排多54(27*2)个座位，已知最后一排100个座位，那么第一排是100-54=46个座位。所以总座位数为：(46+100)*28/2=2044(个)
反思：利用求和公式可以快速地计算出等差数列的和，从而提高计算的效率。

除了等差数列的求和经常计算以外，我们还会经常碰到等比数列的求和，以上就是等比数列求和的通用公式。
例2：计算
分析：本题就是等比数列的求和，其中，将它们代入公式即可算出结果。

这是从1开始的连续平方数的求和公式。该公式往往跟之后要介绍的裂项相消法结合到一起解题，所以这里暂不举例。

二、裂项相消法
常用的拆项公式：

例3：设，则与A最接近的正整数是（ ）
A.18 B.20 C.24 D.25
分析：解决本题的关键是观察分母的特点，找出一般规律，根据规律化简。括号中各项的一般规律是：，

所以A最接近25，故选D.
反思：在进行实数运算时，先把题中的分数拆成两个分数之差（即裂项相消法），再利用加法结合律可达到化繁为简的目的。我们应善于观察，抓住特点，将推理与计算有机结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度。

例4：设，则与S-T等于（ ）

A. B. C. D.
分析：此题关键在计算S，而S中的每一项都可按照常用拆项公式分成两项：
这样此题的解答可化难为易.
解：

反思：实数的有关计算方法灵活多变，常用到前面叙述过的拆项计算公式、求和公式和有关等量关系，使实数计算获得巧解。
三、整体换元法
该方法指的是把某一部分看做一个整体，并用一个字母替换的方法。
例5：计算

分析：观察被减数与减数中因式之间的联系，适当换元，可将复杂的数值计算化为简单的式的运算。
解：

反思：换元法是初中阶段解决复杂问题的重要手段，应用较为广泛，通过换元可使复杂问题简单化，给解题带来方便。

（四）构造法
该方法涉及到之后的内容，所以当做了解即可。
例5：计算

分析：观察到题目中多次出现，因此可设，则，两边同时平方构造一元二次方程即可求得最终结果。
反思：本题奇思妙想构造一元二次方程使复杂 问题得到了巧妙解决，当然这道题还可以给前三项直接提公因式，再计算化简，同学们课下不妨可以去尝试一下。
拓展性作业：
（一）基础题：、
1、｛×（－2）2－()2＋｝÷| 21996·(-)1995|=___________.
2、 =_____________.
3、=_______________.
4、=__________________.
5、=__________________.
6、=__________________.
7、某班有51个同学，毕业时每人都要和其他同学握一次手，那么这个班共握了__________次手.
（二）提高题
8、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝__________.
9、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝__________.
10、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝__________.
（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝
11、.

13、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是__________.

15、一个家具厂生产书桌，从第二个月起，每个月增加10件，一年共生产了1920件，那么这一年的12月份共生产了__________书桌.
16、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试__________次.
（三）挑战题
17、计算：

18、计算

19、计算

20、表示一种运算，如果，计算