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概率论与数理统计书PPT课件.ppt
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1、1.CH1 随机事件与概率 1.1 随机试验1.1.1 研究对象的分类 确定性问题:在一定的条件下,必然会发生的问题。比如:弹簧受到外力作用会发生形变,水从高处往低处流,同性电相斥、异性电相吸等。(高等数学、线性代数等课程研究的对象)2.不确定问题:研究对象的某种现象在出现之前我 们不知道它是否会发生。例如:抛一枚硬币出现正面或背面现象 口袋里有红、黄、蓝三色球若干,随便取一球是红球这一现象,向某一目标打一发炮弹,是否击中目标等。(我们这个课程研究的对象)3.1.1.2 随机试验试验:指对研究对象的观测,一次观测称为一次试验。随机试验:指对随机现象的观测,一次观测称为一次随机试验。比如:抛一次
2、硬币或一次抛多枚硬币,观测出现正面的个数等。4.(3)试验中一切可能出现的结果可以预先知道。必然性(统计规律性)随机试验必需满足:(1)在相同条件下,试验可以重复进行。可重复性(2)每次试验中可以出现不同的结果,而不能预先知道发生哪种结果。偶然性随机试验一般用字母E表示。5.例1 一些随机试验的例子n口袋里分别有红、黄、蓝球3个,每次从口袋中取2个球(有放回)。n连续向一个目标发射10法炮弹。n连续观察一周每天的下雨情况。n买彩票中奖,如此等等。6.1.2 随机事件与样本空间基本事件 指随机试验中,其每一个可能出现的结果。样本空间 指基本事件的全体组成的集合基本事件称为样本空间的点。1.2.1
3、 基本事件与样本空间7.例2n投掷一枚骰子一次,有6个基本事件,即点数:1 2 3 4 5 6。该随机试验的样本空间为:8.1.2.2 随机事件随机事件:某些基本事件组成的集合。又称为复合事件。比如,例2中的点数不超过3点的集合。9.几个特殊的随机事件n必然事件:每次试验中必然发生的事件,记为。比如:例2中的点数小于等于6的集合。n不可能事件:每次试验中不可能发生的事件,n记为。比如:例2中的点数大于6的集合。10.1.2.3事件之间的关系及其运算 必然事件包含了样本空间的所有点,不可能不包含样本空间的任何点。一般的事件存在着一些联系。事件的包含关系定义:若事件A A发生必导致事件B B发生,
4、则称事件B B包含事件A A。记为:B B A A或A BA B。比如例2 2中,A A:表示小于3 3点事件,B B表示小于5 5点事件。)11.事件相等若事件 且 ,则称事件A和事件B相等。记为AB。即:事件A与B所包含的基本事件是一样的。12.定义:若事件A A发生或事件B B发生,则称这样的事件为并事件,记为:A BA B。结论:;。事件的并(或称和)注:包括事件A与B 同时发生AB13.例3nA=1,2,7,8,a,b,c,B=1,5,8,b,e则 AUB=1,2,5,7,8,a,b,c,e14.定义:在试验中,事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交(或积),记为AB(或
5、AB)。事件的交(积)在例3中,AB=1,8,b结论:;。参考上图解释15.逆事件 发生的属于样本空间,但不属于A的事件,称为A的逆事件,记为 。A 在例2中,如果A=1,3,5,则 16.事件的差:在试验中,事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差。记为AB。结论:。ABAB在例3中,A-B=2,7,a,c17.定义:在一次试验中,若事件A、B不能同时发生,则称事件A、B为互不相容,记为:AB。否则称两事件相容。结论:从基本事件说,互不相容事件没有公有的基本事件。显然,在一次试验中,两个基本事件不能同时发生,所以任何两个基本事件都是互不相容事件。事件的相容性18.交换律:ABBA
6、,ABBA 结合律:(AB)CA(BC),(AB)CA(BC)分配律:(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC)事件的运算律德摩根公式:19.例4、在一个口袋里装有红、黄、白三种球,每种球都不止一个,一次任取两个球,观察它们的颜色。设A两个同色球,B至少一个红色球,问AB由哪些基本事件组成?解 用R表示红球,Y表示黄秋,W 表示白球则:A=RR,YY,WW,B=RR,RY,RWA B=RR,RY,RW,YY,WW 20.思考:设A、B、C为三个事件,试将下列事件用A、B、C表示出来。(1)三个事件都发生;(2)三个事件都不发生;(3)三个事件至少有一个发生;(4)A发生,B、C不发
7、生;(5)A、B都发生,C不发生;(6)三个事件中至少有两个发生(7)不多于一个事件发生;(8)不多于两个事件发生。21.例5、下列命题中,正确的有哪些?(1)若A B,则ABA;(2)若A B,则 ;(3);(4)若 ,则 ;(5);(6)若 ,则 ;对对对解决这类问题,最好的方法是用图示法!22.(1)所有基本事件,构成一个互不相容的事件组。(2 2)所有基本事件的并是必然事件。基本事件的重要性质:注注意意23.1.3随机事件的概率1.2.1事件的频率频率:如果在n次重复随机试验中,事件A发生了nA次,那么就称比值 fn(A)为事件A发生的频率,其中 。对任意随机试验E,频率具有性质:24
8、.(1)对任意事件A,。(2)。(3)对任意有限多个互不相容的事件A1、A2 Am 有 。说明由频率的定义可见,如果事件A发生的可能性愈大,频率就愈大;另一方面,频率还有稳定性,即当n很大时,频率稳定在一个固定值附近摆动。25.1.1.3.1 3.1 概率的定义(1)概率的统计定义定义1:在同一组条件下所作的大量重复试验中,如果事件A A发生的频率总是在一个确定的常数 p p 附近摆动,并且逐渐稳定于p p,那末数 p p 就表示事件A A发生的可能性大小,并称它为事件A A的概率,记作 。26.(2)概率的公理化定义定义2:设E是随机试验,是E的样本空间,对于E的每一个事件A赋予一个实数值,
9、记为 ,称为事件A的概率,如果集合函数 满足下列条件:(1)非负性:(2)规范性:27.(3)可列可加性:设事件互不相容,则有:这3条也是概率的三个基本性质,此外概率还有一些其他性质:28.(1)(2)(3)加法定理(4)(5)若 ,则有 。29.概率的加法公式可推广到有限个事件的并的情形。如:1.已知 ,则 (A)0.4;(B)0.5;(C)0.3;(D)0.7。例630.2、设 ,且 ,则 ()。3 3、设A A、B B、C C 为随机事件,且 ,0.1250.125,则A A、B B、C C至少出现一个的概率是 。31.特殊概型 等可能概型等可能概型(古典概型):如果一个随机试验E具有如
10、下的特征,则称为等可能概型。(1)基本事件的全集是由有限个基本事件组成的;(2)每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的。32.定义:在古典概型中,若样本空间包含的基本事件总个数为n n,其中事件A A包含的基本事件个数为m m,则事件A A的概率为 古典概型中概率的计算 一般方法:通过计算基本事件个数,计算概率。33.例7 7、从1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9九个数字中,随机地取出3 3个数字,组成一个三位数,求这个三位数为奇数的概率。例8 8、连续三次抛一枚硬币,求恰好出现一次正面的概率和恰好出现二次正面的概率。解:,;解:,;对于初学者,可以
11、用描述方法,求解类似问题。34.例9 9、袋中有1616个白球,4 4个红球,从中取出3 3个,求至少有一个是红球的概率。解:,;另解:对A的逆事件 有,;注意有放回取球与无放回取球的区别。35.例1010、盒中有a个黑球,b个白球,从中有放回的抽取n n个球,求事件A A:“刚好取到k k个黑球”的概率。解:例1111、12 12名运动员中有4 4名种子选手,现将运动员平均分成两组,问4 4名种子选手:(1 1)各有两人分在一组的概率;(2 2)分在同一组的概率。(N个球中有k个黑球)36.解(1):,;(2):;例1010、一盒中含有N N1 1个黑球,一个白球,每次从盒中随机地取一只球,
12、并还入一只黑球,这样继续下去,求事件A A:“第k k次取到黑球”的概率。借助逆事件计算概率是概率计算中比较常用的方法。37.解:显然,这是一个古典概型的问题,样本空间的大小为 ;而要求概率的事件A所包含的基本事件个数就不容易计算了,但可考虑其逆事件38.例1111、盒中有a a个黑球,b b个白球,把球随机地一只只取出(不放回),求事件A A:“第k k(1 k 1 k ab)次取到黑球”的概率。解:另解:有放回是有序行为,无放回是无序行为表明前k-1次是从a+b-1个球中取出的39.1.4 条件概率1.4.1条件概率在实际问题中,除了要知道事件A的概率 外,有时还要考虑在“已知事件B发生”
13、的条件下,事件A发生的概率。一般情况下,两者的概率是不相等的,为了区别所见,我们把后者称为条件概率。1-440.条件概率定义n定义:若A、B为同一随机试验的两个事件,且 ,则 称在B发生条件下A发生的概率为事件A关于B的条件概率,记 。41.注意:条件概率也是概率。所以,它满足概率的一切性质。如:但 未必成立。条件概率计算 AABB42.例12、设10件产品中有2件次品,8件正品。现每次从中任取一件产品,且取后不放回,试求下列事件的概率。(1)前两次均取到正品(2)第二次取到次品(3)已知第一次取到次品,则第二次也取到次品43.解:,这显然是抽签的公平性,(考虑样本空间的改变)或者:44.问题
14、(3)也可考虑:设A1:“第一次取到次品”A2:“第一次取到次品”45.2.概率的乘法定理 定理:两事件的积事件的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概率的乘积。即:P(AB)=P(B)P(A B)P(A)P(B A)46.例13:某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随意拨号,求(1)拨号不超过3次而接通电话的概率。(2)若已知电话号码的最后一个数字是奇数,求拨号不超过3 次而接通电话的概率。解:设A拨号不超过3次而接通电话,Ai第i次拨号时接通电话,i1,2,3。则:47.且 是两两互不相容的。(1)P(A)1/10 9/101/9 9/108/91/83/10 (2)
15、P(A)1/54/51/44/53/41/33/5。48.3.3.全概率公式、贝叶斯公式 1 1、划分:设为随机试验E的样本空间,为E的一组事件,若(1)(2)则称 为样本空间的一个划分。49.设为随机试验E的样本空间,为样本空间的一个划分。则:2 2、全概率公式50.例14、设有编号1,2,3的3个盒子,分别有4,5,6个黑球,5,4,3 个白球,今任取一个盒子,再从盒子中任取一球(每一盒,每一球均等可能被取到),求事件A:“取出的球是白球”的概率。解:设事件:“此球属于第i个盒子”。则由全概率公式得:51.52.3.贝叶斯公式在上述例子中,我们知道事件A在各种原因 下发生的平均概率可以通过
16、全概率公式求出。但是,若在事件A已发生的条件下,求某个事件的概率,这个问题的解决,就要求助于贝叶斯公式了。53.贝叶斯公式:54.例15、在例14中,若已知从盒中取出的一球是白球,问此球是来自一号盒子的概率为多少?解:由前可知 55.例16、在数字通讯中,信号是由0和1组成的。若发送的信号为0和1的概率分别为0.7和0.3;由于随机干扰,当发送信号是0时,接收为0和1的概率分别为0.8和0.2;当发送信号是1时,接收为1和0的概率分别为0.9和0.1。求已知收到的信号是0时,发送信号也为0(即没有错误)的概率。56.解:设事件 :“发送信号为0”,事件 :“发送信号为1”,事件A:“接收信号为
17、0”由贝叶斯公式得:57.例17、假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌,根据以往经验,患者用此法能被查出的概率为0.95,非患者用此法被误诊的概率为0.1。假定人群中肝癌的患病率为0.0004。现在若有一人被此法诊断为肝癌,求此人真正患有肝癌的概率。解:设事件A:“诊断为患有肝癌”事件 :“此人真正患有肝癌”,事件 :“此人未患肝癌”58.由贝叶斯公式得:59.1.5.1两个事件的独立性定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个事件,若满足 ,则称事件A、B互相独立。独立的性质:如果A、B相互独立,则有1.5事件的独立性1-5独立性与不相容性是两个不同的概念60.例18:在20个产品中有2个次品,从中
18、接连抽两个产品,第一个产品抽得后放回,再抽第二个产品,求(1)已知第一次取得次品的情况下,第二次取得次品的概率(2)第二次取得次品的概率。解:设事件A第一次抽到次品,事件B第二次抽到次品,61.(1)因是有放回的:P(B|A);(2)因是有放回的:P(B)P(B|A)所以,P(B|A)P(B)。定理:若事件A与B相互独立,且 ,则62.独立扩张定理:若事件A与B独立,则、也相互独立。希望大家能熟练地运用扩张定理63.1.5.21.5.2多个事件的独立性 定义:设事件A、B、C,若有则称A、B、C相互独立。64.即使A、B、C两两互相独立,也不能说明A、B、C互相独立。注注意意例19:如图所示,
19、三个元件 a、b、c 安置在线路中,各个元件发生故障是相互独立的,且概率分别为0.3、0.2、0.1,求该线路由于元件发生故障而中断的概率。65.解:设 A元件a发生故障 B元件b发生故障 C元件c发生故障 D线路中断,则DA(BC)P(D)P(A)P(BC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)0.30.20.10.30.20.10.314 66.例20:假若每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004,混合100个人的血清,求此血清中含有肝炎病毒的概率。解:设Ai第i个人的血清中含有肝炎病毒,可以认为它们是相互独立的。67.例2121、设 ,若事件A A与 B B互斥
20、,则 ;若事件A A与B B独立,则 。例2121、设每门高射炮射击飞机的命中率为0.4,现若干门高射炮同时独立地对飞机进行一次射击,问欲以0.95的把握击中飞机,至少需要多少门高射炮?68.贝努里试验:只有两个可能结果的试验称为贝努里试验。n次独立试验的特点:(1)每次试验的条件都相同,且只有两个可能的结果。(2)每次试验是相互独立的。n 次独立试验又称为n重贝努里试验。69.n重贝努里试验中概率的计算:例10、某人投篮一次命中的概率是0.6,求(1)他投篮5次命中4次的概率;(2)他投篮5次至少命中3次的概率;70.例22、进行一系列独立的试验,每次试验成功的概率为p p,则在2 2次成功
21、之前已经失败3 3次的概率为()(A);(B)(C);(D)71.2-1 随机变量 为了能用变量、函数及微积分等工具来研究随机现象,引进了概率论中的另一重要概念随机变量。2.1.12.1.1随机变量 2-1 随机变量 2.1随机变量CH272.有些随机现象的基本事件,虽然不表现为数量,但仍可以通过人为地规定使它们数量化,使这个随机现象的结果能用变量来表示。如:掷一枚硬币,观察正反面的情况,e1=正面向上,e2=反面向上。引进变量,规定:e1=0,e2=1,也将其基本事件和实数对应了起来。73.定义:设E是一个随机试验,是其样本空间,如果对每一个 ,有唯一的实数X X与之对应,我们就称X X是E
22、 E的一个随机变量。由定义可知,随机试验E的随机变量不 是唯一的。说明74.随机变量也经常用希腊字母、等表示。随机变量的可取值范围是基本事件的全集所对应的实数范围。引进随机变量后,随机事件可以用随机变量在实数轴上某一个集合中取的值来表示,所以,研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取值的概率。75.2.2 离散型随机变量离散型随机变量:随机变量的可取值范围,有的可以排列出来,有的不能排列出来。把可取值能按一定的次序一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量。2.2.1离散型随机变量的分布列76.定义:如果随机变量的可取值为且P(X=x1)p1、P(X=x2)p2、P(X=xn)pn 则称P(X=
23、xk)pk为离散型随机变量X的概率分布列,简称分布列或分布律。分布律又常常表示为表格的形式:X x1 x2 xk P p1 p2 pk 77.3.离散型随机变量的分布列的性质 反之,若数列 满足这两条性质,则一定是某一离散型随机变量的分布列。(1)(2)78.例1、一射手对某一目标进行射击,一次击中的概率为0.8(1)求一次射击的分布列;(2)求到击中目标为止所需的射击次数的分布列。解(1)设X=0击不中目标,X=1击中目标,则:79.p1P(X=0)0.2,p2P(X=1)0.8 且 p1p21,所以分布列为:X 0 1 pk 0.2 0.8(2)设射击到击中目标为止,射击的次数是随机变量Y
24、,则Y1,2,3,k,。80.p1P(Y=1)0.8,p2P(Y=2)0.20.8,pkP(Y=k)0.2 k-10.8,且所以,Y的分布律为 Y 1 2 k pk 0.8 0.20.8 0.2 k-10.8 81.例2、把4个球任意的放到3个盒子中,令X表示落到第 1个盒中球的个数,求X的分布列。分析:4个球任意的放到3个盒子中,落到第1个盒中球的个数可能取0、1、2、3、4 这5个数值。4个球放到3个盒子中有34种放法,表示有 k 个球落到第1个盒中,这 k 个球有 种取法,其余的4k个球任意放到2,3两个盒中有 种放法,所以:82.例3、设离散型随机变量X的分布列为 求正数 a 的值。8
25、3.解:所有这类问题都需要用分布律的性质解决所以,84.例4、设离散型随机变量X的分布列其中,为已知,求常数C。解:85.对随机变量而言,除了要研究其分布列以外,还要研究其分布函数 。根据上一节的内容可得离散型随机变量X的分布函数为 从几何上来看,这个函数的图像应是阶梯型86.例5、求例2中的随机变量X的分布函数。解:X的分布列为 X 0 1 2 3 4 离散型随机变量的分布函数都是阶梯型的,也就是说函数是分段函数,X有5个取值点,分布函数就有6段。87.88.2.2.2 常见的离散型随机变量(1)(01)分布:设随机变量X只可能取0和1两个数值,它的分布为 其中 ,则称 X 服从(01)分布
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