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MATLAB 工具箱在软磁材料单位损耗曲线拟合中的应用

【摘 要】 介绍了利用 MATLAB 中的 Curve Fitting 工具箱图形界面对软磁材料的 单位损耗数据的曲线拟合分析，得出用于变压器电磁计算的拟合方
程。 %Application of Curve Fitting toolbox in MATLAB for analysis of iron loss of soft ferromagnetic materials is introduced. Data are fitted to extrapolate formula for computer aided transformer design.
【期刊名称】 《机电工程技术》
【年(卷),期】 2014(000)008

【总页数】 6 页(P101-106)

【关键词】 曲线拟合;MATLAB;单位损耗;变压器电磁计算
【作 者】 ;程汉湘

【作者单位】 广州骏发电气有限公司，广东广州 511447;广东工业大学，广东广 州 510006
【正文语种】 中 文
【中图分类】 TP391

在变压器的电磁方案的设计中，经常需要从图表或曲线获取数据进行计算。在传统 手算的过程中每次都要通过查表或者曲线来确认数据十分繁琐。而在计算机辅助设 计的情况下虽然能一次载入全部表格的数据再进行插值计算所需值。但对于程序设 计来说，这个过程中涉及到目标值在数据中的多次对比，而且也牵涉到数据的读取

和存放。这些过程都占用计算机的计算和储存资源而影响计算速度。
在变压器设计中一般都是使用简单的一次插值 Lagrange 插值多项式，由此插值得 出的数值实际是分成了多个线性区间。而在变压器电磁方案的设计中所涉及的参数 基本呈非线性关系，例如，铁磁材料的单位损耗、磁化容量、接缝的磁化容量、油 温升修正值、波纹片的热负荷等。所以由插值计算的结果存在误差。虽然可以通过 改变插值多项式来减少误差。但插值多项式的次数越高，编程难度越大，资源占用 也更多。因而，寻求一种简单有效的办法来解决问题具有实际意义。
在工程问题中的函数是多种多样的，有的表达式很复杂，有的只有通过经验得出的 近似公式。而在变压器设计中所涉及的参数，一般都有实际数据，例如硅钢片厂商 提供的性能曲线、设计原则中的温升修正值曲线、波纹片的热负荷等。问题就变成 从现有的观测数据( xi，yi )( i=
1，2，…， N )中，求得变量 x 与 y 之间的某种近似关系 y=f (x)。从几何图形 上看，就是根据数据给定的点求一条近似曲线，这样的问题就是曲线拟合问题。曲 线拟合是工程上关于试验数据、经验数据的数学问题的数值处理方法。
由于这些数据是测量所得，难免存在误差。如果要求拟合的曲线通过每个数据点则 会保留了测量误差，因此曲线拟合所求的近似曲线并不一定通过所有给定点，即不 要求满足 f ( xi ) =yi ( i=1，2，…， N )，只要求曲线能反映数据的基本变化趋势。 但同时，必须考虑所得曲线的准确度，通常“最好”的标准是要求 f(xi)与 yi ( i=1，2，…， N )的偏差[yi-f ( xi ) ]的平方和∑ i=1[yi-f ( xi ) ]2 最小，即为最小 二乘曲线拟合，实际上就是在离散情形下的最佳平方逼近。
MATLAB 是 Matrix Laboratory 的缩写，是由美国 The Math Works 公司出品的 商业数学软件， MATLAB 是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值 计算的高级技术计算语言和交互式环境除了矩阵运算、绘制函数/数据图像等常用 功能外， MATLAB 还可以用来创建用户界面及与调用其他语言(包括 C，C++和

FORTRAN )编写的程序。
尽管 MATLAB 主要用于数值运算，但利用为数众多的附加工具箱(Toolbox)它 也适合不同领域的应用，例如控制系统设计与分析、图像处理、信号处理与通讯、 金融建模和分析等。而其中的 Curve Fitting Toolbox 提供了用于拟合曲线和曲面 数据的应用程序和函数。使用该工具箱可以执行探索性数据分析，预处理和后处理 数据，比较候选模型，删除偏值。可以使用随带的线性和非线性模型库进行回归分 析，也可以指定自行定义的方程式。该库提供了优化的计算参数和起始条件，以提 高拟合质量。使用此工具箱进行单位损耗、磁化容量等数据的曲线拟合非常简单直 接。
软磁材料的性能包括单位重量的损耗(简称单位损耗)和磁导率等参数，而单位损 耗是在交变磁通下产生的，软磁材料中的磁畴在交变磁通的作用下转向，而在这个 过程中消耗能量所产生的损耗，在 Steinmetz 于 1892 年发表的论文中提出，即 软磁材料(硅钢片、非晶合金等)的损耗来自材料在交变磁通下产生的磁滞损耗 [2-3] ，到 1924 年 Jordan 从对软磁材料的研究认为，软磁材料的单位损耗由两部 分组成，分别是磁滞损耗和涡流损耗[2-3]。而涡流损耗来自于在交变磁通下产生 的涡流，由于此涡流在垂直于磁场方向流通，而一般以降低软磁材料的厚度来控制。 后来 Ber totti 在这基础提出了附加损耗的概念，软磁材料的单位损耗分成磁滞损 耗、涡流损耗和附加损耗三部分。计算公式如下[3-4]：
其中： Kh ：磁滞损耗系数；
Ke ：涡流损耗系数；
Ka ：附加损耗系数；
a：Steinmetz 系数，通常取 1.6~2.2[5]；
B ：最大磁密。
下面以一组 30Q130 硅钢片的单位损耗数据(表 1 )作为例子说明 Curve Fitting

工具箱的使用。在 MATLAB 的命令行中输入这组 30Q130 硅钢片在 50 Hz 的单 位损耗性能数据。
然后在 MATLAB 的应用程序中点击 Curve Fit⁃ting 或者在命令行中用命令 cftool 启动 Curve Fitting 工具箱。
在 Fit name 中填写拟合的名字(可选) ，然后分别选择 B 和 Q130 作为 X data 和 Y data。在 MAT⁃LAB R2014a 中默认是选定了一次多项式进行自动拟合。但明显 误差很大，这里先根据上述的单位铁损模型构造拟合方程，所以在下拉菜单选择 Custom Equation。
假设频率固定为 50 Hz ，则自定义方程可以选为：
把此方程输入到窗口中按回车，则程序会拟合出一条曲线。但由于系数初值的选取 和范围没限制， MATLAB 提示函数并没有在限定的迭代次数内收敛，虽然找到拟 合，但明显结果变差很大。但上文中提到的 Stein⁃metz 系数，即方程中的b 有一 定范围。工具箱中提供系数的初值选择和范围选择，则可以根据这个系数的特点优 化拟合。具体点击 Fit Op⁃tion ，如图 1 所示在窗口中对 Unknowns 中的 b 填入 StartPoint (初值)为 2， Lower (下限)为 1.6， Upper (上限) 2.2.在点击 Close 关闭窗口，则
工具箱自动计算出的曲线拟合如图 2。
MATLAB 给出的模型如下
其中 Goodness of fit 是分析拟合好坏的参数，他们的代表的意义如下。
SSE ：偏差的平方和，这是表示拟合值和测量值的偏差。数值越接近零代表拟合中 的随机错误越少，拟合能更有好地估算结果。
R-Square ：复测定系数，这项反映拟合结果能否正确反映数据的变化趋势，是拟 合值和实际值之间关联性的平方，数值越接近 1 表示拟合值和实际值正双关度越 高，拟合越好。当方程没有常数项时， R-Square 可能为负，此时应为方程增加一

个常数项来实现更好的拟合。另外，随着系数数量增加， R-Square 越接近 1 ，但 拟合实际上未必更好。此时要参考下个参数。
Adjusted R-Square ：根据残差自由度调整的 R-Square。此项通常是比较同一类 模型在增加系数后两者之间的好坏，数值越接近 1 表示拟合越好。如果此项为负， 则表示存在对预测数值没有帮助的系数，此时应该减少系数的个数。
RMSE ：均方根误差，也叫拟合的标准误差，是对数据中随机分量的标准偏差的估 计。数值越接近零代表拟合越好。
在工具箱中还可以把拟合保存到 MATLAB 中进行其他分析。操作如下，点击菜单 中的 Fit ，选择 save to workspace。弹出窗口如图 3 ，点击确定，则拟合结果将 按图 3 中的变量名称保存到 MATLAB 中。然后可以参考 MATLAB 的帮助文档中 心进行其他分析。下面举例分析拟合值和测量值的偏差。命令如下：
y’ -Q130
最后输出拟合值和测量值偏差如下：
0.037 5 0.040 0 0.018 6 -0.036 7 -0.075 7
以上误差均在小数点后两位，对用于变压器设计中计算精确到个位的空载损耗来说， 拟合值的精度略嫌不足。虽然可得此 30Q130 硅钢片单位损耗拟合方程如下。但 对于空载损耗计算来说，还需要寻找更高精度的拟合。
f(B)=-128.5 B1.987+125.5 B2+3.362 B1.5
变压器设计涉及电学、电磁学、热学、力学等各方面的知识，设计员的精力有限， 很难同时精通各方面的知识。很多时候只有实验数据或经验数据，而没有和数据对 应的数学模型。而 Curve Fitting 工具箱中内置了多项式、指数函数、傅里叶级数 等模型供选择，则可以通过选择不同的模型和参数来对数据进行分析，尝试出一个 适合数据而又满足工程需要的近似模型。
在工程学上，很多时候为了计算的简便，会把复杂的模型中影响较小的项去掉而达

到简化模型的效果。而且由于工艺、技术等种种原因，很多时候测量的数据会比理 论的数据略大。这里再以 30Q130 硅钢片的数据为例，在模型不确定的情况下再 进行分析。
在这之前，先对根据模型建立的拟合进一步分析，在 Curve Fitting 工具箱界面中 的菜单中点击 View 勾选 Residuals Plot。这样绘制出残差的图形如图 4 ，明显可 以看出呈正弦波形式分布，同时从图 2 可以看出测量数据先呈线性上升，后再呈 非线性上升。由此分析可知应该把测量数据分开线性和非线性的两段进行分析。同 时，在变压器设计应用上很少会用到较低的磁通密度，因此，把数据空间缩窄，只 分析磁通密度由 0.9 到 1.8 的数据。
在 MATLAB 命令行中输入数据如下：
B=[0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8]
Q130=[0.32 0.355 0.385 0.415 0.455 0.49 0.54 0.59 0.63 0.68 0.74 0.795 0.87 0.94 1.03 1.12 1.24 1.4 1.55]
启动 Curve Fitting 工具箱并分别选择 B 和 Q130 作为 X data 和 Y data。通过从 下拉菜单中选择来尝试不同的模型，下面简单说明几个常用的模型： Polynomial (多项式模型)通常用于需要一个简单的经验模型的场合，多项式模 型可以用于插值、归纳或者用一个全局匹配来表示数据。
Exponential (指数模型)通常用于某变量的变化率与该变量的初始值成一定比例 的场合。
Fourier (傅里叶级数模型)通常用于周期性变化的信号。
Gaussian (高斯模型)通常用于钟罩型的曲线，即到达某一点快速上升到极点然 后快速恢复到原来水平。广泛应用于科学和工程领域中呈正态分布的数据。
其他模型在此不做介绍，有兴趣的可以参照 MATLAB 的帮助文档。

根据上面的介绍，可以尝试多项式模型对数据进行归纳。通过调整系数数量 (Degree) ，可以发现从 4 阶多项式开始，拟合的误差比较小。再往上提升阶数的 拟合的误差基本相同。而且分析 Goodness of fit 中的 Adjusted R-Square 基本 不变，说明增加的系数并没有提供更有效的拟合，则可确定 4 阶多项式模型下可 建立有效的拟合。结果如图 5 ，拟合数据如下：
用同样的办法可在 MATLAB 计算拟合值和测量值的误差为
Columns 1 through 12
0.004 5 -0.005 2 -0.004 0 0.001 5 0.000 3 0.006 5 -0.000 2 -0.005 0 0.002 5 0.002 9 -0.002 7 0.001 9
Columns 13 through 19
-0.006 4 -0.000 6 -0.003 3 0.008 5 0.007 7 -0.012 0 0.003 1
可见拟合值跟测量值的有效数字基本相同，满足工程计算的需要。所得拟合方程如 下：
f(B)=2.384B4-11.294B3+20.42B2-15.85B+4.709
对于上述 30Q130 硅钢片单位损耗的分析，在按照其损耗的数学模型情况下的拟 合误差较大，其中原因之一是简化了的模型和生产工艺等参数的误差，即简化工程 模型与实际生产的产品存在误差，而这个误差对于变压器损耗的精确计算有影响， 或许软磁材料的单位损耗中还存在其他种类的损耗。另外一个原因在文中也有提到， 就是各个参数的初值和上下限的选取，这将会影响拟合的好坏。但在这些参数不明 确的情况(即模型不确定)下，利用 Curve Fitting 工具箱的易用性，尝试不同的 模型对数据进行分析，也可以建立一个有效的拟合。同时，在系数数量的选取上也 应注意，过多的系数不但使模型复杂化，而且不一定能有效地提高拟合质量，亦有 可能降低拟合方程的精确度，需要合理地选取系数数量。另外，由于数据的特殊性， 有时还需要对数据分成不同区间分别拟合，虽然相对复杂，但对于呈非线性关系的

数据来说，对比用插值法分区间线性插值差值还是有区间可以更大、精度较高的优 势。而且得出的拟合方程对于计算机编程来说也要简单得多。
理论上，通过对研究对象的理解而建立的模型通常会更合适。虽然需要对研究对象 有更深入的认识，长远来说对模型优化有重要意义。但是在模型不确定的情况下， 通过对数据的简单分析来分别试用不同模型或参数来建立拟合可以免去对模型深入 分析所需的大量时间，同时也是在模型分析困难时的较好办法。
由上看出，使用 MATLAB 的 Curve Fitting 工具箱能直观地对数据进行分析，简 单快捷的得出反映数据变化趋势的方程。对于像软磁材料单位损耗这种参数，虽然 它遵循一定模型，但是模型中的系数随着材料不同、规格不同、厂家工艺等数据而 变化。使得获取一个通用的模型比较困难，而利用 MATLAB 可以简单的为变压器 设计中所用到的软磁材料的性能建立一个有效的近似模型，进而达到优化计算机辅 助设计程序的目的。同理， MATLAB 不但可以用于磁化容量、接缝磁化容量、波 纹片热效率、油温升校正等变压器设计中的测量数据或经验数据的分析处理中，同 时也可以应用到其他电气设备的设计中。

【相关文献】

[ 1 ]李红.数值分析：第 2 版[ M ] .武汉：华中科技大学出版社， 2010.
[ 2 ]崔立君.特种变压器理论与设计[ M ] .北京：科学技术文献出版社， 1995.
[ 3 ] Krings，A&Soulard，J.Overview and Comparison of Iron Loss Models for Electrical Machines [ A] . Paper presented at 5th International Conference and Exhibition on Ecological Vehicles and Renewable Energies ( EVER 10 )[ C ]， Monte-Carlo， MONACO， MAR 25-28 ，2010.
[ 4 ] Bertotti G.General Properties of Power Losses in Soft Fer ⁃romagnetic Materials
[ J ] .IEEE Transactions on Mag ⁃netics， 1988 ，24 ：621-630. [ 5 ]赵海森，杨亚秋 .铁磁材料损耗的产生机理及其计算基础[ J ] .陕西电力， 2010 ( 3 )： 55-57.