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21 解直角三角形复习练习
航海问题及其解法
在近几年的中考试题中，利用解直角三角形的知识解决有关航海的问题层出不穷，常见的类型主要有以下几种：
一、求距离
例1．　台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救．接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°，“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°．已知B在A的正东方向，且相距100海里，分别求出两船到达出事地点C的距离．如图1．
分析 读懂题目，弄清与方位有关的词语，在△ABC中正确写出已知条件是解题的关键，依题意知△ABC是顶角为150°的等腰三角形，过点B作底边上的高，不难求出BC、AC的长．
解：作BD⊥AC，依题意知∠ABC＝120°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝100海里．在Rt△BDC中，∴∠C＝30°，
∴DC＝BC·Cos30°＝50 ．
∴AC＝100．
说明 本题是三角函数的应用问题，其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题，如何把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题，只要弄清题意，理解关键字词的含义，把实际问题转化为数学问题，方能正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
二、求速度
例2．　甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里/小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向．求乙船的速度v（精确到0.1海里／小时）．
（参考数据： sin32°＝0.53，Cos32°＝0.85，tAn32°＝0.62，Cot32°＝1.60）
分析 由题意知∠AOB＝90°，要求乙船的速度，得先求OB的长．
解 由题意可得：OA＝16．1×2＝32.2（海里）， ∠1＝32°，∠2＝58°．
∴∠AOB＝180°－（∠1＋∠2）＝90°．
由B在A的正西方向，可得∠A＝∠1＝32°．
又∵在Rt△AOB中，tAnA＝，
∴OB＝OA·tAnA＝32.2×0.62＝19.964．
∴v＝＝19.964÷2＝9.982≈10.0（海里／小时）．
三、确定航行方向
例3．　如图3，海中有一小岛P，在其距8海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为16海里，若轮船继续向东方向航行，请计算轮船有无触礁的危险，如有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域．
解 依题意画出航行图，如图3，由P向A的正东方向作垂线PB，垂足为B．
由∠PAB＝30°，得 PB＝AP＝8．
因为8＜8，故有触礁的危险．
为了安全，应改变航行方向，并且保证P点到航向的距离不能小于暗礁的半径8，即这个距离至少等于8．
设安全航向为AD，做PC⊥AD于C，由题意，AP＝16，PC＝8，∴sin∠PAC＝．
∴∠PAC＝45°，从而知∠BAC＝15°．
故轮船自A开始，至少应沿东偏南15°的方向航行，才能安全通过此海域．
四、确定航船是否进入危险区
例4．　今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°的方向上．前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上（如图4）．在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（≈1.73）．
解 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ADC中，AD＝CD·Cot∠CAD＝CD·Cot30°＝CD．
在Rt△BDC中，AD＝CD·Cot∠CBD＝CD·Cot45°＝CD．
∴AB＝AD－BD＝CD－CD＝（－1）CD＝100．
∴CD＝＝50（＋1）≈136.5（米）．
∵136.5米＞120米．∴若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险．
解直角三角形
一、忽视直角三角形致错
例1：在中的对边为，且：：=3：4：5，求证：．
错解 证明：设，
则，．
∴．
分析 本题中没有说明，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先证明为直角三角形，且后才能用定义．
正解 证明：设，
∵，
∴是以为斜边的直角三角形．
∴．
则，．
∴．
二、混淆规律、特殊函数值致错
例2 下列说法：
（1）若为锐角，则；
（2）在中，已知，则；
（3）；
（4）若为锐角，且，则．
其中正确的说法是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．都不对
错解 选D
分析 （1）因受的影响，而错误认为，正确答案为．（2）在中，的前提是．（3）不是与的积，而是一个整体，表示的正切．正确答案是：．（4）同角与互为余角的正、余切关系的混淆而出现错误．正确答案为：．
正解 选D．
三、边角关系理解不透致错
例3 在中，，AC=1cm，BC=2cm，求sinA，tanA．
错解 在中，∵，AC=1，BC=2，
∴．
∴． ∴．
∴．
分析 错误地应用了“若直角三角形中的一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边对角为”，没有分清斜边和直角边，避免该错误的有效方法是应画出图形，利用“数形结合”进行解答．
正解 在中，∵，
∴．
∴，
．
四、概念不清致错
例4 如图，直升机在长江大桥AB上方P点处，此时飞机离地面高度为acm，且A、B、O三点在一条直线上，测得点A俯角为，点B的俯角为，求长江大桥AB的长度．

错解 在中
∴OA=OP×tana．
在中，．
∵，∴．
∴AB=OA-OB=OP()=a()．
分析 把从P点观测A点的俯角误认为，从P点观测B点的俯角误认为，只有弄清俯角才能避免该错误．
正解 根据题意，得，
∴．
在中，．
在中，．
∴AB=OA-OB=
=OP（）
=a（）．
解直角三角形的探究性问题
素质教育下的数学学习应是生动活泼的、主动的且富有个性的，为体现这一特色，自己提出问题自己解答的探究性问题应运而生．解决这类问题，不仅需要扎实的基础知识和基本技能，而且需要思维的灵活性和创造性．
例　如图1，山上有一铁塔，山脚下有一矩形建筑物，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度和高度都可直接测得，从三点可以看到塔顶，可供使用的测量工具有皮尺，测角仪．
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶到地面高度的方案，具体要求如下：
①测量数据尽可能少；②在所给图形中，画出你设计的测量平面图，并将应测数据记在图形上（如果测间距离用表示；如果测间距离，用表示；如果测角，用等表示，测角仪高度不计）．
（2）根据你测得的数据，计算塔顶到地面的高度（用字母表示）．
分析：本例是一道全开放试题，它要求考生自行编拟出测量高度的方法，其设计方案很多．
方案一：（1）如图2，（测三个数据），．
（2）解：设，在中，．在中，
，所以，所以．

方案二：（1）如图3（测量四个数据），．
（2）解：设，在中，；在中，，所以，所以．
方案三：（1）如图4（测量五个数据），，
，，．
（2）略．
本题还有许多方案，请你也设计出一个方案来．
由上可见，探究性学习试题不再拘泥于“学什么，考什么”的老模式，而是渗透于各方面的知识（包括高中和大学的知识），面对这类试题，它要求同学们凭自己的初中数学基本功迅速接受新事物，适应新情况，探寻新方法，解决新问题，以此测试同学们的学习潜能与创新精神，激发探索欲望．
“跳一跳，摘得到”，探究性试题对于传统试题来说是突破，是创新，同学们在学习中应予以足够重视．
解直角三角形的中的数学思想
数学思想是数学的灵魂，学习了解直角三角形，下面向大家介绍其中的一些数学思想．
一、数形结合思想
图1
在解直角三角形时，应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对解直角三角形本质的理解．
例1 　已知tanA=，求sinA的值．
分析：此已知条件可转化为：已知Rt△ABC中，
∠C=90°， tanA=，求∠A正弦值．
解：如图1，若设AC=3k，BC=4k，那么必有AB=5k，所以sinA=．
二、转化思想
将斜边三角形转化为直角三角形，是解决有关问题的重要的思想方法，解决的方法是作三角形的高．
例2 　如图2，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=8，求AC．
图2
分析：已知三角形的两角和边，求其中的一边的长，我们可以通过作三角形的高，将原三角形转化为两个直角三角形求解．
解：作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，因为∠B=45°，
所以BD=AD=AB·sin45°=8×=4，
在Rt△ACD中，AD=4，∠C=60°，
所以AC=．
三、方程思想
通过设未知数表示三角形中的数量关系，构造方程解决问题的思想，即方程思想．
图3
例3　如图3，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°．已知AB＝20 m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．
解：作CD⊥AB垂足为D，设气球离地面的高度是xcm，
在Rt△ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x，
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°=，所以BD=
因为AB=AD-BD，所以20=x-，所以x=30+30，
所以气球离地面的高度是（30+30）m．
四、建模的思想
解直角三角形在生产、生活中有着广泛的应用，这就要求我们能从实际问题出发去分析、抽象、构建直角三角形模型．
例4 如图4，公路PQ和公路PN在P处交汇，∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路PN上由P向N方向行驶时，学校是否会受噪音的影响？设拖拉机的速度为18km/s，如果有影响，那么影响的时间是多长？
分析：学校是否会受影响，取决于点A到PN的距离与100m的长短的比较．
图4
解：过点A作AB⊥PN，垂足为B，因为∠NPQ=30°，
所以AB=(m)<100m．
所以学校会受影响．设拖拉机行至C处时学校刚受影响，
超过D处时不在受影响，则AC=AD=100(m)，
在Rt△ABC中，BC=，
同理BD=60，所以CD=120．
所以学校受影响的时间为t=．
同角三角函数的基本关系
三角函数
角
sin
cos
tan
300

450

1
600

从表中不难得出：
，
，
，
那么，对于任意锐角A，是否存在，呢？
事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系：
如图，在，所对的边依次为a，b，c
则 ① （平方关系）
②， （商的关系）
③ （倒数关系）
证明：①

即
②

即 ，
③

即
通过以上证明，可以得出以下结论：
①对于任意锐角A，的正弦与余弦的平方和等于1，即．
②对于任意锐角A，的正弦与余弦的商等于的正切，即．
③对于任意锐角A，的余弦与正弦的商等于的余切，即．
④对于任意锐角A，的正切和余切互为倒数，．
运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程．
例1　已知为锐角，求．
解：为锐角

又

此题还可以利用定义求解，方法不唯一．
例2　计算
解：原式=
=1-1
=0
本题也可直接把特殊角的三角函数值代入计算，但过程较为复杂，同学们了解了同角三角函数之间的基本关系，不仿试解下面的题目．
1．化简：
2．为锐角，化简
答案： 1．（提示：1=）
2．1 （提示： ）
求三角函数值的策略
求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．
一、设参数法
例1　如图1， 在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB等于（ ）
图1
(A) 　(B) 　(C) 　 (D)
分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．
因为tanA=，所以可设a=5k，b=12k(k>0)，根据勾股定理得c=13k，
所以sinB=．应选(B)．
图2
二、等线段代换法
例2 　如图2，小明将一张矩形的纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若BA：BC=4：5，则cos∠DCF的值是______．
分析：根据折叠的性质可知△EBC≌△EFC，所以CF=CB，
又CD=AB，AB：BC=4：5，
所以CD：CF=4：5，
在Rt△DCF中，cos∠DCF=．
三、等角代换法
A
B
C
D
E
α
图3
例3　如图3，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为 （入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tan的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
分析：根据已知条件可得∠α=∠CAE，所以只需求出tan∠CAE．
根据条件可知△ACE∽△BDE，所以，即，
所以CE=，在Rt△AEC中，tan∠CAE=．
所以tan=．
四、等比代换法
例4 如图4， 在Rt△ABC中，ACB=90，CD⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BCD=α，tanα的值为（ 　 ）
图4
(A) 　 (B) 　 (C) 　 (D)
分析：由三角形函数的定义知tanα=，
由Rt△CDB∽Rt△ACB，
所以，所以tanα=，选(A)．
三角函数中的两个关系式
一、公式的发现
如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，由三角函数的定义可得：
，，，，则有：
（1）
由勾股定理，得：a2＋b2＝c2，所以，有：sin2A＋cos2A＝1　①
（2）　　　　　　　　　　　②
说明：（1）当∠A＋∠B＝90°时，因为sinB＝，
所以此时又有sin2A＋sin2B＝1.
(2)公式②成立的条件是∠A＋∠B＝90°．
二、公式的应用
例1　（北京西城区中考题）若为锐角，，则＝＿＿．
解：由公式①可知，．
例2　（包头市中考题）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则＝（　　）
Ａ．　　　Ｂ． 　　Ｃ． 　　Ｄ．
解：∵ ,∠B是锐角，＞0，由公式①，得
∴＝　，所以，选（B）．
例3　（山西省中考题）计算：
＝＿＿＿＿＿．
分析：因为48°＋42°＝90°，44°＋46°＝90°，
所以有：，＝1．
解：原式＝＝1－1＝0．

锐角三角形函数应用
一、锐角三角函数的应用
基本要求：1．掌握仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等概念．
2．能根据题意在所给的图形（或根据题意自己画出图形）中恰当地构造直角三角形，运用解直角三角形（有时还需要借助方程）的有关知识解决实际问题．
二、动手实践，培养探究和创新能力
基本要求：1．能够运用解直角三角形的有关知识，动手设计解决现实生活中的测量高度、长度的方案．
2．能够解决与解直角三角形有关的综合性问题和探索性问题．
三、典型例题解析
例1　如图1，在中，
平分．已知，那么______．
析解：在中，易知，
．在中，，
故．
例2　如图2，一轮船原在处，它的北偏东方向上有一灯塔，轮船沿着北偏西方向航行小时到达处，这时灯塔正好在轮船的正东方向上，已知轮船的航速为海里／时，求轮船在处时与灯塔的距离．（结果可保留根号）

析解：如图3，构造两个直角三角形：和，运用直角三角形中的边角关系求出和，然后相加即可．
（海里），（海里），所以海里。
锐角三角函数值的求法
一、选择题（每小题3分，共9分）
1．在中，，，，用计算器求约等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．已知是锐角，且，那么的范围是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
二、填空题（每小题3分，共12分）
3．用计算器求的按键顺序是________．
4．用计算器求的按键顺序是________．
5．已知，则________．
6．已知斜坡米，的坡度，则斜坡的高________米．
三、训练平台（每小题15分，共30分）
7．用计算器求下列各式的值．
（1）；
(2)；
(3)．
8．根据下列条件求的大小．
（1）；
(2)；
(3)．
四、提高训练
9．如图，美国侦察机飞抵我国近海搞侦察活动，我战斗机奋起拦截．地面雷达测得，当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为，，它们与雷达的距离分别为，．求此时两机距离多少千米．（精确到0.01km，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29)

参考答案：
一、1．Ｄ　　2．Ｂ
二、3．略　　　4．略　　　5．　　　6．
三、7．（1）0.618；　　（2）0.7547；　　（3）0.6326
8．（1）；（2）；（3）
四、1.77千米．
锐角三角函数大小比较
　　在学习锐角三角函数时，经常遇到比较大小的问题，如何快速有效地解决这类问题呢？下面介绍几种方法，供同学们学习参考．
　　一、同名锐角三角函数的大小比较
　　对于同名锐角三角函数大小的比较，要准确把握住它们的增减性：正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小．
　　例1　比较大小： ______．
　　解：由正弦函数的正变关系可知．
　　例2　比较大小： ______．
　　解：由余切函数的反变关系可知．
　　二、同角锐角三角函数的大小比较
　　对于同角锐角三角函数的大小比较可用下列方法：
　　当时，，；
　　当时，，，且；
　　当时，，，且．
　　例3　比较大小： ______．
　　解：由以上规律可得．
　　例4　比较大小： ______．
　　解：由以上规律可得．
　　三、不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较
　　对于不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较我们可以利用互为余角的锐角三角函数关系化为同名三角函数后再比较．
　　例5　比较大小： _______．
　　解：化同名，因为，
　　所以．
　　例6　比较大小： _______．
　　解：化同名，因为°．
　　所以．
　　下面提供一道中考题供同学们练习：
　　（新疆中考题）（1）如图（1），（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．
　　（2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
　　（3）比较大小（在空格处填写“＜”，或“＞”，或“＝” 号）：
　　若，则____；
　　若，则____；
　　若，则____．
　　（4）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．
　　参考答案：
　　（1）正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小．
　　（2），
　　．
　　（3）若时，；
　　若时，；
　　若时，．
　　（4）．