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平面向量高考题型专项研究

平面向量在数学和物理学中应用很广泛。平面向量的概念及线性运算在近几年高考中既是热点又是重点 ，高考中一般出现一个选择题或填空题，并且在解答题中以固定模式与解析几何结合，有些省市的高考题中也出现与三角函数、集合、解三角形，平移、直线的方向向量等结合的题型，对线性运算和共线定理的考察较频繁，考察线性运算的运算法则及其几何意义。具有考察形式灵活，题材新颖，解法多样等特点，又可考察数形结合思想，体现向量既具有“数”的特征，又具有“形”的特征。 下面以近两年的高考试题为例，解析关于平面向量的题型。
1.向量的概念及有关运算（加、减、数乘、数量积）
例1（2010年安徽卷第3题）：设向量a=(1,0),b=(12,12),则下列结论中正确的是（ ）
A．a=b B.a∙b=22
C. a-b与b重合 D.a∥b
点评：本题考查向量的数量积、向量的模、向量平行、垂直的充要条件等，是向量知识的简单综合，属于基础题目。选C。
例2（2010年江苏卷第15题）在平面直角坐标系xOy中，已知点A-1，-2，B2，3，C-2，-1。
Ⅰ求以线段AB、AC为邻边的平行四
边形的两条对角线的长；
Ⅱ设实数t满足AB-tOC∙OC=0
求实数t的值。
解：（Ⅰ）∵AB=3，5，AC=-1，1
∴AB+AC=2，6，
AB-AC=4，4
∴AB+AC=210，AB-AC=42
所以两条对角线的长分别是210，42。
Ⅱ∵OC=-2，-1
AB-tOC=3+2t,5+t
AB-tOC ∙OC=0
∴3+2t×-2+5+t×-1=0
∴5t=-11 , t=-115
点评：本题满分14分，考查平面向量加法、减法的几何意义、线性运算、数量积，考察学生的运算求解能力，.
2．与解析几何结合
与解析几何结合的试题，既有选择、填空、又有解答题，主体是解析几何，只是其中某个条件或问题涉及到向量知识，出现的比较多的有数量积、线性运算，有时也会有模、加减法等。
例3（2010年全国卷一第16题）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，BF=2FD,则C的离心率为___。
解：设椭圆方程x2a2+y2b2=1a>b>0,Fc,0,B0,b,设Dx0,y0,则BF=c,-b,FD=x0-c,y0,
∵BF=2FD
∴x0=3c2,y0=-b2
把点D的坐标代入椭圆方程，化简得
c2a2=13，所以e=ca=33.
点评：本题主要考查椭圆个的方程与几何性质、向量共线的坐标运算。2010年全国卷二的第15题含条件AM=MB,即可以用两个向量相等的坐标坐标关系导出点B的坐标也可以从它得到M是线段AB的中点，从而导出点B的坐标，再代入抛物线方程，求出p的值。再如由条件AM=12AB+AC,也可以说明点
M是线段AB的中点。
例4（2010年陕西卷第20题）如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1的顶点为,A1,A2,B1,
B2,焦点为F1,F2,，A1B1=7,
SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2。
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ设n是过原点的直线，l是与n垂直
相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直
线，OP=1.是否存在上述直线l使
AP∙PB=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说出理由。
A1
A2
B1
B2
F1 F2
y
x
A
B
P

解：Ⅰ由A1B1=7,得a2+b2=7
由 SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2得，a=2c
又因为a2=b2+c2
可得 a2=4,b2=3
所以椭圆方程x24+y23=1
Ⅱ设Ax1,y1,B(x2,,y)2假设使AP∙PB=1成立的直线l存在，
ⅰ当l不垂直于x轴时，设l的方程为
y=kx+m
∵l⊥n,且OP=1
∴m1+k2=1即m2=k2+1
∵AP∙PB=1, OP=1
∴OA∙OB=OP+PA∙OP+PB
=OP2+OP∙PB+PA∙OP+PA∙PB
=1+0+0-1=0
即x1x2+y1y2=0
将y=kx+m代入椭圆方程，得
3+4k2x2+8kmx+4m2-12=0
∴x1+x2=-8km3+4k2, ①
x1∙x2=4m2-123+4k2 ②
∴0=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2
将①，②代入上式并化简得
1+k2（4m2-12-8k2m2
+m2（3+4k2=0
将m2=k2+1代入，化简得
-5k2+1=0，矛盾。
即此时直线l不存在。
（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足OP=1
的直线l的方程为x=1或x=-1,
当x=1时，A,B,P的坐标分别为1，32，（1，-32），（1，0）∴AP=0,-32,PB=0,-32
∴AP∙PB=94≠1
当x=-1时，同理AP∙PB≠1
即此时直线l也不存在。
综上，使AP∙PB=1成立的直线l不存在。
点评：本题结合椭圆及平面基本几何图形，考察圆锥曲线的综合运用。首问求解椭圆方程，次问以向量为背景，考察设而不求方法的利用。体现了解析几何多问把关，高端深化的命题特点。
3．与三角函数结合
例7（2009年湖北卷第17题）已知向量a=cosα,sinα，b=cosβ,sinβ,c=(1,0).
Ⅰ求向量b+c的长度的最大值；
Ⅱ设α=π4，且a⊥b+c,
求cosβ的值。
解：Ⅰb+c=cosβ-1,sinβ
则b+c2=cosβ-12+sin2β
=21-cosβ
∵-1≤cosβ≤1 ∴0≤b+c2≤4
即0≤b+c≤2
所以向量b+c的长度的最大值为2。
Ⅱ若α=π4,则a=22,22
∴a∙b+c=22cosβ-1+22sinβ
∵a⊥b+c ∴a∙b+c=0
即sinβ+cosβ=1
平方得sinβ∙cosβ=0
∴cosβ=0或cosβ=1
经检验cosβ=0或cosβ=1都符合。
点评：本题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算的基本知识，考查基本运算能力。