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例谈几何中的最短路线问题
武安市实验中学 刘保锋
几何中的最短路线问题是中考热点之一，往往与两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称、勾股定理息息相关。现举例分析如下：
一、两点之间，线段最短。如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？

析：连接MN，线段MN与直线AB的交点P4即为所求。
二、直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，
当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近？行驶到什么位置时距村庄N最近？

析：分别过M、N两点向直线AB做垂线段，垂足分别是P1、P2，P1、P2即为所求。
三、两点之间，线段最短与轴对称相结合；
一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，若村庄M、N在公路AB的同侧，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？

析：过N点，做直线AB的对称点N‘，连接MN‘，线段MN’与直线AB的交点P5，P5即为所求。

变式：如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷。请你帮他确定这一天的最短路线。

析：过A点做关于草地MN对称点A‘，过B点做关于河L对称点B’，连接A‘B’，与草地MN交于P1，与河L交于P2，顺次连接A、P1、P2、B，即为所求。
四、两点之间，线段最短与勾股定理相结合。
（1）台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

析：展开图如图所示，AB=cm
（2）圆柱问题 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

析：展开图如图所示，AB=m
变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？
A
B
A
B
c

析：展开图如图所示，AB=m
变式2： 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

析：展开图如图所示，做A点关于杯口的对称点A‘。则BA‘=厘米
（3）正方体问题 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3 （B） （C）2 （D）1

析：展开图如图所示，AB=
（4）长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
析：展开图如图所示
，

路线1即为所求。
长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。