勾股定理经典难题复习巩固.doc

DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列 勾股定理
一、 导入
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的正方形面积。
勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
说明：中国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方；= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。
二、 知识点回顾
（一）勾股定理　
１．定理：直角三角形两条直角边 ａ、ｂ 的平方和等于斜边 ｃ 的平方：ａ２＋ｂ２＝ｃ２　
２．逆定理：如果三角形的三边长 ａ、ｂ、ｃ 有下面关系：ａ２＋ｂ２＝ｃ２　，那么这个三角形是直角三角形．　
３．勾股数：能构成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．　
（二）直角三角形　
１．定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形．　
２．性质：（１）直角三角形的两个锐角互余．　
（２）直角三角形中，如果一个锐角等于 ３０°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．　
（３）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 ３０°．　
（４）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．　
（５）勾股定理．　
３．判定：
（１）定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
（２）一个三角形，若有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．　
（３）如果一个三角形中的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．　
（４）勾股定理的逆定理
三、 专题讲解
【例 １】如图，△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１４，ＡＣ＝１５，求 ＢＣ 边上的高 ＡＤ．　
解设 ＢＤ＝ｘ，则 ＤＣ＝１４－ｘ　
在 Ｒｔ△ＡＢＤ 中，由勾股定理得　ＡＤ２＋ｘ２＝１３２　
∴ＡＤ２＝１３２－ｘ２　
同理：在 Ｒｔ△ＡＤＣ 中，ＡＤ２＝１５２－（１４－ｘ）２　
∴１３２－ｘ２＝１５２－（１４－ｘ）２，解方程得 ｘ＝５　
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD = 132 - 52 = 12． 　
说明　　高 ＡＤ 虽然是两个直角三角形的边，但哪个直角三角形的边都有未知数，要想求这未知数，必须利用两直角三角形的公共边 ＡＤ 列出方程，才能求得结果．这在几何的计算问题中是经常应用的．
1、已知：如图，△ABC中，AB=17，BC=21，AC=10，求△ABC的面积.

2、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．求DE的长；
解：（1）由翻折不变性可知，EB=ED，
设DE为xcm，则EB=xcm，
∵AB=10cm，
∴AE=AB-x=10-x，
又∵AD=4cm，
∴在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，即42+（10-x）2=x2，
化简得：16+100+x2-20x=x2，解得：x=5.8， 即DE=5.8；
【例 ２】如图，△ＡＢＣ 中，ＣＥ 是高，Ｄ 是 ＡＢ 的中点，∠Ｂ＝４５°求证：ＡＣ２＝２（ＡＤ２＋ＤＥ２）　
证明　　∵∠Ｂ＝４５°，∠ＣＥＢ＝９０°　
∴ＣＥ＝ＢＥ　
∵Ｄ 是 ＡＢ 的中点∴ＢＤ＝ＡＤ．　
∴在 Ｒｔ△ＡＣＥ 中，由勾股定理得：　
ＡＣ２＝ＣＥ２＋ＥＡ２＝ＢＥ２＋ＥＡ２　
＝（ＢＤ＋ＤＥ）２＋（ＡＤ－ＤＥ）２　
＝（ＡＤ＋ＤＥ）２＋（ＡＤ－ＤＥ）２　
＝ＡＤ２＋２ＡＤ・ＤＥ＋ＤＥ２＋ＡＤ２－２ＡＤ・ＤＥ＋ＤＥ２　
＝２（ＡＤ２＋ＤＥ２）　
说明　　要证明线段平方问题，首先要考虑勾股定理，就是从图中寻找或构造包含所证线段的直角三角形．另外，从本例可以看出等量代换或代数中的恒等变换对证此类问题是很重要的

△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ 是 ＢＣ 上一点，求证：ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ・ＤＣ
提示：作 ＡＥ⊥ＢＣ 垂足为 Ｅ，ＡＢ２＝ＡＥ２＋ＢＥ２①
　ＡＤ２＝ＡＥ２＋ＤＥ２②　
得 ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＥ２－ＤＥ２＝（ＢＥ＋ＤＥ）（ＢＥ－ＤＥ）＝ＣＤ・ＢＤ

【例3】若 △ ＡＢＣ 的 三 边 ａ 、 ｂ 、 ｃ 满 足 条 件
a２＋ｂ２＋ｃ２＋３３８＝１０ａ＋２４ｂ＋２６ｃ，试判断△ＡＢＣ 的形状
解∵a２＋ｂ２＋ｃ２＋３３８＝１０ａ＋２４ｂ＋２６ｃ　
ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋３３８－１０ａ－２４ｂ－２６ｃ＝０　
（ａ２－１０ａ＋２５）＋（ｂ２－２４ｂ＋１４４）＋（ｃ２－２６ｃ＋１６９）＝０　
∴（ａ－５）２＋（ｂ－１２）２＋（ｃ－１３）２＝０　
∴只有当（ａ－５）２＝０，（ｂ－１２）２＝０，（ｃ－１３）２＝０ 时，原式才能成立．
即ａ－５＝０，得 ａ＝５，且 ｂ－１２＝０，得 ｂ＝１２，且 ｃ－１３＝０，得 ｃ＝１３．　
又∵ａ２＋ｂ２＝５２＋１２２＝１６９＝１３２＝ｃ２　
由勾股定理的逆定理知△ＡＢＣ 是直角三角形．　
说明　　勾股定理的逆定理的用途在于判定三角形是否是直角三角形．在今后的学习中，若已知三角形的三边，先用勾股定理判断它是否是直角三角形，若是直角三角形，会给解题带来很大方便．

如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。 ∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
【例4】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8。将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。
（1）求EF的长；
（2）求梯形ABCE的面积。

如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，
　　　　所以AD=AF，DE=EF。
　　　　因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，
　　　　在Rt△ABF中，
　　　　AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
　　　　所以。
　　　　所以。
　　　　设，则。
　　　　在Rt△ECF中，，即，解得。
　　　　即EF的长为5cm。
【例 5】　　如图 ３－１２１，△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，Ｐ 是△ＡＢＣ内一点，且 ＰＡ＝６，ＰＢ＝２，ＰＣ＝４，求证∠ＢＰＣ＝１３５°．　

分析　　欲证∠ＢＰＣ＝１３５°，可以 ＣＰ 为直角边作等腰直角三角形 ＣＰＥ，则∠ＣＰＥ＝４５°，再证∠ＥＰＢ＝９０°，问题得证．　
证明　　过 Ｃ 作 ＣＥ⊥ＣＰ，使 ＣＥ＝ＣＰ＝４，连结 ＰＥ、ＢＥ．　
∴∠ＣＰＥ＝４５°　
则∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝９０°∴∠１＝∠２　
又 ＣＰ＝ＣＥ，ＡＣ＝ＢＣ∴△ＡＣＰ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）　
在 Ｒｔ△ＰＣＥ 中，ＰＥ２＝ＰＣ２＋ＥＣ２＝４２＋４２＝３２　
在△ＰＥＢ 中，ＰＥ２＋ＰＢ２＝３２＋４＝３６，而 ＢＥ２＝６２＝３６　
∴ＰＥ２＋ＰＢ２＝ＢＥ２，∴∠ＥＰＢ＝９０°　
∴∠ＣＰＢ＝∠ＣＰＥ＋∠ＥＰＢ＝４５°＋９０°＝１３５°　
说明　　本题关键是把分散的三条已知线段 ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ 相对集中，以便寻求它们之间的联系．因为 １３５°＝４５°＋９０°，由引辅助线，作出一个４５°角，而且巧妙的构造出一对全等三角形，达到已知条件相对集中目的，再利用勾股定理及其逆定理，迅速解决问题
如图P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。

四、 巩固练习：
（1） 选择题
1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．
　　A．6，7，8 　　　B．5，6，7　　　 C．4，5，6 　　　D．3，4，5
2．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
　　A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
　　C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
3．下面四组数中是勾股数的有（ ）．
　　（1）1.5，2.5，2 　　　（2），，2 （3）12，16，20　　　　（4）0.5，1.2，1.3
　　A．1组　　　 B．2组　　　 C．3组　　　 D．4组
4．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）．
　　A．182 　　　B．183 　　　C．184 　　　D．185
5．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合， 则CN的长为（ ）．
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．

　　　　(第5题)　　　　　　　　　　　　　　 (第6题)
6、如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆．设直线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（　）
　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．无法确定
（2）解答题
1、如图 △ＡＢＣ 中，ＡＤ 是角平分线，ＡＤ＝ＢＤ，ＡＢ＝２ＡＣ，求证：△ＡＣＢ 是直角三角形．

2、 如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值的平方是？

解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，
此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，
∵D是BC边的中点，
∴BD=1，
根据勾股定理可得DC′=．
五、 拓展训练
在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边距离相等，则这个距离是 3
解：如图所示，设EP=a，
∵AB=7，BC=24，
∵P到各边距离相等，
∴EP=GP=PF，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△APE≌△APG，△CPG≌△CPF，
∴AE=AG，CG=CF，
设CG=x，
，解得，a=3．
∴这个距离是3．

六、反思总结

当堂过手训练 （快练5分钟，稳准建奇功）
1、 试判断 ａ、ｂ、ｃ 能否组成直角三角形，其中，ａ＝２ｎ２＋２ｎ，ｂ＝２ｎ＋１，ｃ＝２ｎ２＋２ｎ＋１(ｎ＞０)
证明a 2 + b 2 = c 2 ⇒ c 2 - a 2 = b 2

2、如图，已知∠ＡＢＤ＝∠Ｃ＝９０°，∠ＤＡＢ＝３０°ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝１２，求ＢＣ2 的值

3、如图 ３－１２５，在四边形 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝４ｃｍ，ＡＤ＝３ｃｍ，ＣＤ＝１２ｃｍ，ＢＣ＝１３ｃｍ，求四边形 ＡＢＣＤ 的面积．

4、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
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