多元函数的微分学81-150.doc

一、 计算题
81.已知，求.
解：
同理.
82.已知，求.（中等难度）
解：
由对称性可知：
.
83.已知，求.（中等难度）
解：，
.
84.已知，
求.（中等难度）
解：，

.
85. 设，求在点（2，）处的偏导数. （中等难度）
解：因为

所以

86. 已知，求.
解 ，.
87.已知
，
求.（中等难度）

.
88. 已知，求.（中等难度）
解：由于

.
89.已知，求.（高难度）
解：当时
=
当时
因此 .同理得.
90.已知，求.（中等难度）
解；，
，.
91. 已知，求.
解
92.已知，求，.（中等难度）
解：由于
于是，.
93.已知，求，.（中等难度）
解：由于

于是
，.
94.已知，求，.（中等难度）
解：由于
于是
95.已知，求，.（中等难度）
解：由于
于是

.
96.已知，求，.（中等难度）
解：由于

于是
，
.
97.已知，求，.（中等难度）
解：由于
，
于是

98. 已知.（中等难度）
解：

99. 设有二阶偏导数.
解 记，有

100. 求函数的全微分.
解 因为

且它们是连续的，故由全微分公式得
.
101.求函数的全微分.
解：因为
且它们是连续的，故由全微分公式得
.
102.求函数的全微分.
解：因为
且它们是连续的，故由全微分公式得
.
103. 求函数的全微分.
解：因为

且它们是连续的，故由全微分公式得
.
104. 求函数的全微分.
解：因为
且它们是连续的，故由全微分公式得

105. 求函数的全微分（中等难度）
解
，，
且它们连续，故由全微分公式得
.
106. 设
解：
注：此题也用求出.即求全微分的一般方法：一种是先求，再写出；另一种是直接利用全微分的四则运算法则及微分形式的不变性来求全微分.
107. 已知
，
求.（中等难度）
解 ：因为

故

108. 已知，求.（中等难度）
解：设而
109.设，而
，求
.（中等难度）
解：

110. 设，而，求.
解：

111.设，而
，求.
解：
=
=
112. 设，而
，求.
解：
=.
113. 设，而，求.（中等难度）
解：=+
=.
114. 求函数
的一阶偏导数. （高难度）
解 令，则
.
由于 而.应用复合函数求偏导数的公式得

=；
同理可得

=.
115. 求复合函数
的一阶偏导数，其中具有连续的一阶偏导数. （高难度）
解：.

116.求复合函数的二阶偏导数，其中具有连续的二阶偏导数. （高难度）
解 ，

117. 求的一阶偏导数.（中等难度）
解: 设
, 则
118.设
.求，.（中等难度）
解:

119.
解：

120. 已知
.
解：
121.已知

解：

122.求由方程 所确定的隐函数的一阶偏导数（中等难度）
解：令，则，
故
123. 求由
所确定的函数在点
（1，2，－1）的偏导数. （中等难度）
解 设，则，，
，所以

.
124．所确定的函数，求.（中等难度）
解 ： 令，
则
于是
，，

125. 所确定的函数，求
解：
.

二、解答题
126. 求函数
的极值.
解: 解方程组 , 得驻点 . 因为
因此， ，故（2，-2）为极值点，又由于，所以（2，-2）为极大值点，其极大值为 .
127. 求函数
的极值.
解: 解方程组
, 得驻点 . 因为
因此， ，故（，-1）为极值点，又由于，所以
（，-1）为极小值点，其极小值为 .
128 求函数的极值. （中等难度）
解 ：由得驻点（5，2）

故点（5，2）为的极小值点，极小值（5，2）=30
129.求函数
的极值.
解：由得驻点（1，1）
， ，
在点（1，1）处无极值.
130.求函数
的极值. （中等难度）
解 求导得
，
解方程组得驻点.
由于
，
故 .
所以当时，取得极小值.
131.求在约束条件下的极值. （中等难度）
解 约束条件可写成
作拉格朗日函数

解方程组

得驻点 ， ，
根据所给函数的几何特征可知点（，）为函数的极小值点，极小值为.
132. 求在约束条件下的极值. （中等难度）
解 约束条件可写成
作拉格朗日函数

解方程组
得驻点 ， ，
根据可知点（，）为函数的极大值点，极大值为
.
133.求二元函数
在由直线轴和轴所围成的闭区域上的极值，最大值与最小值.（高难度）
解 由极值存在的必要条件
解方程组得驻点（2，1），
又，

因此在点（2，1）处取得极大值4.
所以点（4，2）是边界上的极小值点，极小值为－64.
比较得最大值为4，最小值为－64.
三、应用题
134.从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周界的直角三角形.
解：设直角三角形的两直角边之长分别为，则周长为

则本题是在下的条件极值，令函数

得驻点
，由于驻点唯一，
根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在，所以斜边之长为的一切直角三角形中，周界最大的是等腰直角三角形.
135.在半径为的半球内，内接一长方体，问各边长多少时，其体积最大？（中等难度）
解 设长方体的长、宽、高分别为（单位）
则其体积因为长方体内接于半球内，易知满足约束方程
=0
作拉格朗日函数
]
解 方程组
得驻点，由于驻点唯一，根据问题的实际所求的最大值点就是（），最大体积值为（立方单位）.
136.要造一个容积等于定数的长方形无盖水池，应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小. （中等难度）
解： 长、宽、高分别为，那么.
要使表面积最小.，也就是要三元函数

在约束条件下取得最小值.
作拉格朗日函数

解方程组
得
由问题本身可知一定有最小值，所以表面积最小的水池的长和宽都应为，高为.
137.将周长为的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可以使圆柱体的体积最大？（中等难度）
解：设矩形的边长分别为，矩形绕旋转，则旋转所成圆柱体的体积为
在条件下的条件极值
由得
故
由于=
令得驻点为
由于驻点唯一，由题意可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长分别为时，绕短边旋转所得到的圆柱体体积最大.
138. 某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养（万尾），乙种鱼放养（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为和，求使产鱼总量最大的放养数.
解： 设产鱼总量为，则
.
解方程组得驻点又
且，因此在
）处取得极大值.由于是实际问题，且有唯一极值，此时必取得最大值.
即分别为所求甲和乙两种鱼的放养数.
139.在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短.（高难度）.
解： 设为椭圆上任意一点，则该点到直线的距离为
，由拉格朗日乘数法，有

解得
于是
由问题的实际意义知最短距离是存在的，故即为所求的点.
140.假设某企业在两个相互分割的市场上出售一种产品，两个市场的需求函数分别是；其中和分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是表示该产品在两个市场的销售总量，即.
（1）如果企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润.
（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小. （高难度）
解： （1）由题意知，总利润函数为
解方程组
因为驻点（4，5）唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到，即当时利润最大，最大利润为52（万元）.
（2）实行无价格差别策略时，
作拉格朗日函数令
解之得

即当时可获得最大利润49（万元）.
由以上结论知，实行价格差别策略所得到利润要大于实行价格无差别策略所获得的利润.
141.某一化工厂需造大量的表面涂以贵重质料的桶，桶的形状为无盖的长方形，容积为256.问桶的长、宽、高各为多少米时，可使所用涂料最节省？（中等难度）
解： 设桶的长、宽、高分别为，那么.
（如图6.13）要涂料最省就是要底面与侧面积之和最小，也就是要三元函数 （1）
在约束条件 （2）
下取得最小值.
从（1），（2）中消去，得
（3）
从而把问题简化成求二元函数（3）的无条件最小值.
解方程组
得驻点（8，8）
又因为
从而有，所以当时，有极小值，此时
.故当时，取得极小值，也是最小值，即所用涂料最省.
四、证明题
142. 求证：
证明：因为

143. 是可微函数，求证：.（中等难度）
证明.由
代入后即证.
144. 方程确定z是x、y的函数求证：（
证明：令，由
，
即 ，得 .
又由 ，即
，
得 ，代入后即证.
145. 设函数有二阶导数，有一阶导数，且，求证：
.（中等难度）
证明：
代入后即证.
146.设，而为可导函数，证明：
证明：
.
147.设，其中为可导函数，证明：.
证明：

148.设，证明：.（中等难度）.
证明：设为的函数，方程两边分别对求偏导得：
及
因此 ，
从而：
149.设都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，证明：.（中等难度）.
证明：由隐函数的求导公式得：487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L和交流电动势, 在时刻时接通电路, 求电流与时间的关系(, 为常数).
解. 设, 由回路电压定律, 即
=
=
将代入通解得

488. 设质量为的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率与时间的关系, 再求物体下落距离与时间的关系
解：. 物体重力为, 阻力为, 其中是重力加速度, 是比例系数.
由牛顿第二定律得,从而得线性方程,
, 将代入通解得
, 再积分得,
将代入求得

489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于轴上点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数沿平行与轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为, 求鱼雷的航行曲线方程.

解： 设鱼雷的航行曲线方程为, 在时刻, 鱼雷的坐标巍巍, 敌舰的坐标为.
因鱼雷始终对准敌舰, 故, 又弧的长度为,
从以上两式消去得, 即
根据题意, 初始条件为,
令, 原方程化为, 它是可分离变量得方程,
解得, 即
将代入上式得, 故
而, 得
积分得, 将代入上式得,
所以鱼雷的航行曲线为
490．根据经验可知, 某产品的纯利润与广告支出有如下关系 ，（其中）, 若不做广告, 即 时纯利润为, 且, 试求纯利润与广告费之间的函数关系.
解：依题意得, , 解可分离变量得微分方程, 得通解
, 将代入通解, 得, 所以纯利润与广告费之间的函数关系为.
491．
在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入, 国民储蓄和投资均是时间的函数, 且在任一时刻, 储蓄为国民收入的, 投资额是国民收入增长率的 . 设时国民收入为5(亿元), 假定在时刻的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.
解： 依题意: , , 解之得通解, 将代入通解得
, 所以国民收入函数为
492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.
解： 设在某一时刻, 商品的价格为, 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格, 又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.
假设价格的变化率与需求和供给之差成正比. 记需求函数为, 供给函数为, 其中为参数. 于是得微分方程, , 其中为时商品的价格, 为正常数.
若需求供给函数均为线性函数, , , 则方程为
, , 其中均为正常数, 其解为

下面对所得结果进行讨论:
(1) 设为静态均衡价格, 则应满足, 即,
则, 从而价格函数,取极限: .
它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格 , 则动态价格就维持在均衡价格上, 整个动态过程就变为静态过程.
(2) 由于, 所以当时, , 单调下降向靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.

， ， .
所以
.
150.设，具有连续的偏导数，证明由方程，所确定的函数满足：.
证明：由于，故由方程两边分别对求偏导得：
，
由此整理得 ， ，
故 .

18