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2012年福州市高中毕业班质量检查
数学(理科)试卷
(完卷时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题【本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只
有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．)
1．抛物线y2=4x的准线方程为
A．x=－1 B．x=1 C．y=－1 D．y=1
2．命题“x∈，ex > 0”的否定是
A．x∈，ex ≤0 B．x∈，ex ≤0
C．x∈，ex > 0 D．x∈，ex < 0
3．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：
①z=i； ②z=－+i；
③z=+i； ④z=－i ．
那么输出的复数是
A．① B．② C．③ D．④
4．用m、n表示两条不同的直线，仪表示平面，则下列命题正确的是
A．若m∥n，nα，则m∥α B．若m∥α，nα，则m∥n
C．若m⊥n，nα，则m⊥α D．若m⊥α，nα，则m⊥n
5．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ 2 )，则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为
A． B． C． D．
6．在△ABC中．点O在线段BC的延长线上。且与点C不重合，若=x+(1－x)，则实数x的取值范围是
A．(－∞，0) B．(0，+∞) C．(－1，0) D．(0，1)
A
B
C
D
7．如图所示2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中
的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有
A．192种 B．128种 C．96种 D．12种
8．函数f（x）=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为
A．x= B．x= C．x=4 D．x=2
9．过双曲线=1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若T为线段FP的中点，则该双曲线的渐近线方程为
A．x±y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±2y=0
10．若将有理数集Q分成两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割(M，N) ，下列选项中，不可能成立的是
A．M没有最大元素，N有一个最小元素 B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M有一个最大元素，N没有最小元素
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．)
11．sin47°cosl3°+sinl3°sin43°的值等于__________
l2．函数f（x）=x3+ax(x∈)在x=l处有极值，则曲线y= f（x）在原点处的切线方程是_____
13．在约束条件下，目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为1，则ab的最大值等于_______
14．设函数f（x）= (x∈Z)．给出以下三个判断：
①f（x）为偶函数；②f（x）为周期函数；③f（x+1）+ f（x）=1．
其中正确判断的序号是________(填写所有正确判断的序号)．
15．一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知图15是“优美图”，则点A、B与边a所对应的三个数分别为___________
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16．(本小题满分13分)
在数列{a n}中，a1=2，点(a n，a n+1)(n∈N*)在直线y=2x上．
(Ⅰ)求数列{ a n }的通项公式；
(Ⅱ)若bn=log2 an，求数列的前n项和Tn．
l 7．(本小题满分13分)
假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X ．
(Ⅰ)求X的分布列；
(Ⅱ)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为y，求y的数学期望．
18．(本小题满分13分)
如图，椭圆 (a>b>0)的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=－1上，且椭圆的离心率e =．
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN．

19．(本小题满分l 4分)
如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
(Ⅰ)求证：BD⊥平面POA；
(Ⅱ)当PB取得最小值时，请解答以下问题：
(i)求四棱锥P-BDEF的体积；
(ii)若点Q满足=λ (λ >0)，试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于?并说明理由．

第19题图
20．(本小题满分1 3分)
如图①，一条宽为l km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元／km、4万元／km．
(Ⅰ)已知村庄A与B原来铺设有旧电缆仰，需要改造，旧电缆的改造费用是0.5万元／km．现
决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．
(Ⅱ)如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE=θ (0≤θ≤)，试用θ表示出总施工费用y(万元)的解析式，并求y的最小值．

第20题图
21．本题有(1)、(2)、(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分l4分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填人括号中．
(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换
利用矩阵解二元一次方程组．
(2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=1．圆的参数方程为（θ为参数，r >0)，若直线l与圆C相切，求r的值．
(3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲
已知a2+b2+c2=1(a，b，c∈)，求a+b+c的最大值．

2012年福州市高中毕业班质量检查
数学（理科）试卷参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10. C
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
11． 12. 13. 14. ①②③ 15. 3、6、3
三、解答题（本大题共6小题，共80分．)
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知得，所以 又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 3分
所以． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以 7分
所以, 10分
所以
. 13分
17．(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）∵的所有可能取值为0，1，2，3，4，， 1分
∴，，
，，
， 6分
的分布列为

0
1
2
3
4

7分
（Ⅱ）的所有可能取值为3，4，则 8分
， 9分
， 11分
的期望值.
答：的期望值等于. 13分
18．(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）依题意，得． 1分
∵，，∴． 3分
∴椭圆的标准方程为． 4分
（Ⅱ）（法一）
证明：设，，
则，且．
∵为线段中点， ∴． 5分
又，∴直线的方程为．

令，得． 8分
又，为线段的中点，∴． 9分
∴． 10分
∴
=． 12分
∴． 13分
（法二）同（法一）得： ，． 9分
当时，，
此时，
∴，不存在，∴．
10分
当时，，
，
∵，∴ 12分
综上得． 13分
19．(本小题满分14分)
（Ⅰ）证明：
∵　菱形的对角线互相垂直，
∴，∴， 1分
∵ ，∴．
∵　平面⊥平面，平面平面，
且平面，
∴　平面, 2分
∵ 平面，
∴　. 3分
∵ ，
∴　平面. 4分
（Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系. 5分
（ⅰ）设
因为，所以为等边三角形，
故，.
又设，则，.
所以，，，
故 ， 6分
所以，
当时，. 此时， 7分
由（Ⅰ）知，平面
所以. 8分
（ⅱ）设点的坐标为，
由（i）知，，则，，，.
所以，， 9分
∵，　
∴．
∴，
∴． 10分
设平面的法向量为，则．
∵，，∴　，
取，解得：， 所以. 11分
设直线与平面所成的角，
∴
． 12分
又∵∴． 13分
∵，∴．
因此直线与平面所成的角大于，即结论成立． 14分
20.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知可得为等边三角形.
因为，所以水下电缆的最短线路为.
过作于E，可知地下电缆的最短线路为、. 3分
又，
故该方案的总费用为

（万元） …………6分
（Ⅱ）因为
所以. 7分
则， 9分
令则 ， 10分
因为，所以，
记
当，即≤时，
当，即<≤时， ，
所以，从而， 12分
此时，
因此施工总费用的最小值为（）万元，其中. 13分
21．（本小题满分7分） 选修4-2，矩阵与变换
解：方程组可写为， 2分
系数行列式为，方程组有唯一解.
利用矩阵求逆公式得， 5分
因此原方程组的解为，即
7分
（2）（本小题满分7分） 选修4-4：坐标系与参数方程
解：∵直线的极坐标方程为，
∴直线的直角坐标方程为， 2分
又圆的普通方程为，
所以圆心为，半径为. 4分
因为圆心到直线的距离， 6分
又因为直线与圆相切，所以. 7分
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
（法一）解：∵ ，，，,
∴ . 5分
当且仅当时，取得最大值． 7分
（法二）解：∵，，
∴
3分
∵ ,
∴，当且仅当时等号成立， 6分
∴的最大值为． 7分