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滚动小专题（七）四边形的有关计算与证明

四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题.

例 (2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点.
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积.

【思路点拨】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；
(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE=∠DBE=∠DBC=30°，利用锐角三角函数可求出AE、BE，进而求出AD、DE，即可求出菱形BFDE的面积.
【解答】(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.
由翻折得：BM=AB，DN=DC，∠A=∠EMB，∠C=∠DNF，
∴BM=DN,∠EMB=∠DNF=90°，
∴BN=DM,∠EMD=∠FNB=90°.
∵AD∥BC,∴∠EDM=∠FBN，
∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形.
(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD=∠FBD.
∵∠ABE=∠EBD,∠ABC=90°,
∴∠ABE=×90°=30°.
在Rt△ABE中，∵AB=2，
∴AE=,BE=,
∴ED=,∴AD=.
∴S△ABE＝AB·AE=.
S矩形ABCD＝AB·AD=，
∴S菱形BFDE＝－2×＝.
方法归纳：证明平行四边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然后根据条件选择合适的判定方法加以证明.

1.(2013·新疆)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于点E、F，EH⊥AB于H.连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.

2.(2014·济宁)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF.
(1)求证：BF=DF；
(2)连接CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程).

3.(2014·凉山)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.

4.(2014·舟山)已知：如图，在□ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.
(1)求证：△DOE≌△BOF.
(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由.

5.如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.
(1)求证：四边形CDOF是矩形；
(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由.

6.(2014·成都)如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=AD(n为大于2的整数)，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.
(1)试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
(2)当AB=a(a为常数)，n=3时，求FG的长；
(3)记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当= 时，求n的值.(直接写出结果，不必写出解答过程)

参考答案
1.证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH.
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，
由勾股定理，得AC=AH.∴∠CAF=∠HAF.
在△CAF和△HAF中，
∴△CAF≌△HAF(SAS)，∴∠ACD=∠AHF.
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，∴FH∥CE.
∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CF∥EH，
∴四边形CFHE是平行四边形.
又∵CE=EH，∴四边形CFHE是菱形.
2.证明：(1)∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，
∠BEF=∠DGF=90°.
∵BE=AB－AE，DG=AD－AG，∴BE=DG,
∴△BEF≌△DGF，∴BF=DF.
(2)BE∶CF=.
3.证明：(1)∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=∠AEB=30°，AE=AB，
∠EFA=90°.
∴∠AEF=∠BAC.
又∵∠ACB=90°，∴∠EFA=∠ACB.
∴△AEF≌△BAC(AAS),∴AC=EF.
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠DAC=60°.
由(1)的结论得AC=EF.∴AD=EF.
又∵∠BAC=30°，
∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°.
又∵∠EFA=90°，∴EF∥AD.
又∵EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形.
4.(1)证明：∵在□ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO.
∵∠EOD=∠BOF，∴△DOE≌△BOF(ASA).
(2)当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形.
理由：∵△DOE≌△BOF，∴BF=DE.
又∵BF∥DE，∴四边形EBFD是平行四边形.
∵BO=DO，∠EOD=90°，
∴EB=DE.∴四边形BFDE为菱形.
5.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，
∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF.
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴2∠COD+2∠COF=180°，
∴∠COD+∠COF=90°，∴∠DOF=90°.
∵OA=OC，OD平分∠AOC，∴OD⊥AC，AD=DC.∴∠CDO=90°.
∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°.
∴四边形CDOF是矩形.
(2)当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形.
理由：∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC.
又由(1)知四边形CDOF是矩形，
∴四边形CDOF是正方形.
因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形.
6.(1)菱形.
∵FG为BE的垂直平分线，
∴FE＝FB，GB＝GE，∠FEB＝∠FBO.
又FE∥BG，∴∠FEB＝∠GBO，
∴∠FBO＝∠GBO.
∵BO＝BO，∠BOF＝∠BOG=90°，
∴△BOF≌△BOG，∴BF＝BG.
∴BG＝GE＝EF＝FB.∴四边形BFEG为菱形.
(2)AB＝a，AD＝2a，DE＝a，AE＝a，
BE＝=a，OE＝A.
设菱形BFEG的边长为x，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴a2+(a－x)2=x2，解得x＝A.
∴OF＝=a=A.∴FG＝A.
(3)n＝6.