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振动测试及其分析
1.振动测试与动态信号分析
1.1 基本术语
动态参数：结构振动的位移、速度、加速度；冲击的加速度；噪声的声压等（随时间变化）。
动态测试：由传感器测得这些非电物理量并转变为电信号，然后经过信号放大、滤波等适调环节，对信号作适当调节，对测试结果进行显示、记录的过程。
模拟信号：工程中的动态物理量都是随时间变化的，相应的连续时间信号称为模拟信号。
数字信号：由模拟信号转换得到的离散数字序列。其特点是便于存储、处理。
数字信号是模拟信号在一定条件下的近似表示。
数据采集：将连续时间信号转变为离散数字信号的过程称为数据采集。
数据采集的方法：采样、量化—模数转换（A/D转换）
A/D转换产生的问题：频率混迭（偏度误差）、信号噪声比（随机误差）。
解决或减小误差的方法：抗混滤波、充分利用A/D转换器的动态范围。
信噪比（SNR）：信号功率与噪声功率之比。用来衡量量化误差的大小，可作为反映量化过程的主要精度指标。
动态范围（DR）：可测试的最大信号与分辨率之比，通常用分贝（dB）表示。
A/D转换器的动态范围DR与A/D转换位数N的关系：；
如N=12，DR≈72 dB
1.2 信号分析
从观测领域的不同，对信号特征进行分析的方法主要有三种：幅值域、时（间）域、频（率）域。
(1) 幅值域分析：有效值、峰值、平均值、方差（对随机信号 均值、方差，概率密度和概率分布函数）。
峰值：动态信号时间历程中瞬时绝对值的最大值
对简谐信号来讲，用峰值描述是恰当的，，。
平均值： 总体平均值
样本平均值，总体均值的估计
对离散数字序列： 总体均值
样本均值，总体均值的估计
N为样本长度(采样点数)
均值反映信号中心位置和变化的平均水平。均值和峰值不能反映信号在中心位置上
下波动的情况。
方差:
总体方差
样本方差
对离散数字信号序列：
总体方差
样本方差
方差反映了信号在中心位置上的波动程度。
有效值（均方根值）:
总体有效值
样本有效值
对离散数据序列
总体有效值
样本有效值
均方值（有效值的平方）反映了信号动态与静态总的平均能量水平。
(2) 时域分析：相关函数分析
相关：是指变量之间的线性关系。
自相关函数
信号的自相关函数是描述一个时刻与另一个时刻的取值之间的依赖关系。

离散化计算公式：
式中： N — 采样点数
—采样时间间隔
n — 时延序列
自相关函数是以时延域τ为自变量的实值偶函数，可正可负，在取得最大值。 自相关函数与的均值、方差之间的关系

工程中采用相关系数表示相关性：

表示和之间无相关性；表示和之间完全相关。。
自相关函数的应用
① 判断原信号的性质
② 检测混于随机噪声中的确定性信号
③ 的傅立叶变换可以求得信号的功率谱密度

互相关分析
互相关函数表示两个信号和之间依赖关系。

离散化计算公式：
式中：N — 采样点数
—采样时间间隔
n — 时延序列
互相关函数是以时延变量τ为自变量的实函数，可正可负，但在不一定取得最大值，也不一定是偶函数。
互相关函数与、、、之间的关系

工程中采用相关系数表示两个信号和的相关性：

表示和之间统计独立；表示和之间完全相关，表示和之间反向相关。
互相关函数的应用
① 互相关函数在时间位移等于信号通道系统所需时间时，将出现峰值。即系统的时间
滞后直接可用输出输入互相关函数中峰值的时间位移来确定。
② 互相关分析利用互相时延和能量信息可对传输通道进行识别。
③ 的傅立叶变换可以求得信号的互功率谱密度

(3) 频谱分析：（自）功率谱密度函数，互功率谱密度函数（多通道），频响函数分析。
对振动、冲击等快变物理量，测试所得的随时间变化的信号（时间历程）不足以描
述信号本身的特征，而有效值、峰值等参数反映的信息量又太少。
频谱分析是将在时间域变化的信号变换为在频（率）域中有效值或均方值随频率的分布。
频率分析也可看作把复杂的时间历程波形经过傅立叶变换分解为若干单一的谐波分量进行研究，以获得信号的频率结构—频谱（各谐波分量的幅值和相位信息）。
频谱分析的基本方法：（快速）傅立叶变换（FFT：Fast Fourier Transform）。
信号处理的过程基本上可分为相互联系的三个阶段，即采集、变换和识别。
傅立叶变换是线性变换中最重要的变换之一，快速傅立叶变换是离散傅立叶变换的快速算法。
傅立叶变换是众多科学领域（特别是信号处理、图象分析等）里重要的应用工具之一。从实用的观点看，考虑傅立叶分析通常是指傅立叶变换（积分）和傅立叶级数。
定义：函数x(t)傅立叶变换定义为

X(f) 的傅立叶逆变换为

为了计算傅立叶变换，需要用数值积分，即取离散点的值来计算这个积分。傅立叶变换是时域到频域互相转化的工具，其实质是把时域波形分解为许多不同频率的正弦波的叠加，可以将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从时域和频域观察信号。
频谱分析的主要误差：
泄漏（偏度误差）,原因是有限长截断造成；减小的方法 — 加窗函数;
随机误差, 减小的方法 — 多次平均。
频率分析是动态信号分析的基本方法和手段。
谱分析包含线性谱分析（对确定性信号）和均方谱分析，即功率谱密度分析（PSD）。线性谱（幅值谱）,可直接由 FFT得到。
由于FFT算法的出现，直接由信号的傅氏变换求功率谱密度的数字化谱分析方法已成为谱分析的主要方法, 其基本算式为
,
,,,
不同的振动信号有不同的波形和频谱。设备故障诊断时，通常是根据测试得到的信号波形、频谱确定未知的振动类型和特点。
信号分析中需注意的两个问题:
① 频率混迭
② 泄漏
常见的波形及其频谱
1． 单一频率信号

2． 一般周期信号

3． 随机信号

4． 随机+谐波信号

实测频谱

2.系统分析(频响函数)
对于动力学系统可以通过对其激励f(t)测其响应x(t)获得它的动力学特性。输入f(t)和输出x(t)的傅立叶变换分别是F(jω)和X(jω)，定义

动力学系统特性示意图

即
称为频响函数, 或称为传递函数, 有时也称为导纳。频响函数是从频域角度描述系统的动力学特性, 并且与激励方式无关。
频响函数是复函数, 可以按幅值、位相角分解为

式中:－幅频特性
－幅频特性
也可按其实部、虚部写为

式中:－实频特性(的实函数)
－虚频特性(的实函数)
若以水平轴、铅直轴分别表示实频特性、虚频特性的值, 给定一个ω值, 决定一个矢量, 当频率ω变化时, 矢端的迹线称作导纳矢端迹线图(导纳圆)。
因此频响函数可以用幅相特性、实虚特性、导纳圆表示。
对应线弹性系统, 位移满足互易性, 因此位移的频响函数也具有互易性，即i点单位激励产生j点响应与j点单位激励产生i点的响应相同, 可表示为
, 第1下标表示响应点, 第2下标表示激励点。
原点导纳与跨点导纳: 激励点与响应点相同的传递函数称为原点导纳, 激励点与响应点不相同的传递函数称为跨点导纳。原点导纳幅频特性曲线特征是两共振点间有一个反共振点, 跨点导纳并不具有这特征。
频响函数有两种算法, 即、:
, ,
式中: － x,y通道自功率谱; － x,y通道互功率谱。
为了评价频响函数估计的精度, 定义相干函数
, 0≤γ2≤1
测量方法: 瞬态激励(力锤)、正弦扫频。
从频响函数可以提取系统特征信息, 例如模态固有频率、阻尼比等。
频响函数的倒数称为机械阻抗或称动刚度。
3. 模态分析
什么是模态？什么是模态分析？模态是机械及结构的固有振动特性。每一阶模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振形。这些模态参数可以由有限元计算或试验分析取得。基于线性叠加原理，一个复杂的振动系统可以分解为许多模态的叠加。这样一个分解过程称为模态分析。如果这个分解过程是由有限元计算的方法取得的则称为计算模态分析；如果通过试验采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。通常，模态分析都是指试验模态分析。振动模态是弹性结构的固有、整体的特性。如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一感兴趣的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。因此，模态分析是结构动态设计及设备故障诊断重要方法。
试验模态的激励方式: 力锤激励或激振器激励;环境激励; 测量方向:单向、二向和三向;通道数:双通道、四通道、八通道和十六通道以及多测点还可以分组测量。
试验模态分析大体上分为三部分, 即建立几何模型、模态信息文件和参数识别。
几何模型建立, CRAS模态软件具有人工编辑、自动生成和部件组合的功能。
建立模态信息文件包含参数设置、测量方向设置, 建立测量表、约束方程表和测量方案以及导纳测量。
参数识别: 通过频响函数幅值或自功率谱集总平均进行初始估计、曲线拟合、测量方向、约束方程处理和振形归一获得模态参数，并且以动画方式显示振形。
3.1导纳曲线分析法原理
导纳曲线分析法的一般过程为: 先确定固有频率, 第二步确定阻尼比, 最后确定k或m中的任何一个。由于,既已确定, k、m中只有一个是独立的。
(1) 幅频曲线与相频曲线法
① 求固有频率: 在小阻尼下, 幅频曲线的峰值处所对应的频率为。若参考相频曲线, 就认为时的频率为。
幅频和相频曲线
② 求阻尼比
半功率点法:

称为3dB功率带宽
③ 求k
由于时幅值, 在测得幅频曲线后, 即可得到, 于是,按下式计算k:

④ 求m

(2) 实频曲线与虚频曲线法
① 求固有频率: 用虚部峰值所对应的频率作为固有频率。
② 求阻尼比
实频和虚频曲线
设实频曲线的正、负峰值处的频率为(＞), 则在小阻尼下, 阻尼比可表为

③ 求k

为虚频曲线的峰值
求得k后, 。
(3) 导纳圆法
① 求固有频率

导纳矢端迹线图(导纳圆)
在单自由度下 导纳圆与虚轴交点处的频率为;在多自由度下, 由于邻近模态影响, 不对应于导纳圆与虚轴交点处的频率。一般认为,如果在导纳圆上按相等的频率间隔标出值的话, 在共振频率附近, 相继两点间的距离最大, 即在共振频率处具有最大值, 此处s指弧长。

② 求阻尼比
在单自由度下: , 为半功率点频率。
另一阻尼公式:
,为靠近处的两点频率。
③ 求k
导纳圆直径在处等于, 在得到导纳圆后就可根据导纳圆直径计算k。
3.2 频响函数矩阵
n个自由度系统振动微分方程为

物理坐标和模态坐标间坐标变换

式中: －振型矩阵
对于n个自由度振动系统, 物理坐标所满足的微分方程是耦合的，通过上述坐标变换, 可以解耦。因此, 各模态坐标满足的微分方程是单自由度系统的方程。

振形矩阵构成: 振动系统的特征值和特征向量决定其固有频率和振形。
与间坐标变换, 第r阶特征值对应的特征向量构成振形矩阵的第 r列各元素,即。
振形矩阵可表示为:

有阻尼自由振动表示
在模态坐标下, 若初速度等于零,初位移等于, 则主坐标的解为

因此, 物理坐标的解可表为

频响函数
若物理坐标下的激励力, 则在模态坐标下的广义力为, 第i个广义力
若只在P点(P=k)有作用力F, 则对应第i个主振动方程为

利用坐标变换， 在物理坐标下， 第L点响应为

因此, P点激励, L点测量的比例阻尼系统的位移频响函数可表为
，
式中: , (i=1,2,3,……,n)
将不同测点L(同一激励点)的频响函数排成一列向量, 对不同激励点的列向量再组成一个矩阵,称为位移频响函数矩阵H(jω)。

频响函数矩阵任一行或任一列,即包含全部模态参数。而r列各元素的频响函数之比值就为r阶模态振形。这就启示我们在模态试验时, 移动敲击点固定响应点测频响函数矩阵一行元素或移动响应点固定敲去点测频响函数矩阵一列元素即可建立模态模型, 识别模态参数。
3.3 振形归一
以激励点作为参考点, 取该点的振形元素为1。如j为激励点, 对而言 取
单位质量归一: , 此时;
单位向量归一:, 即模态向量为单位向量;
最大长度归一: 以模态振形中最大的元素为1;

设各阶模态频率较为分散, 当接近r阶时, 可认为
, 为第r阶模态对频响函数的贡献,将写成:

,
实模态:称为留数

模态振形与留数关系
,
以激励点为参数点, 该点的振形元素取值为1, 确定其它各点的振形元素的取值。
设, 则对于原点导纳, 有

取, 得

由此得归-振形为

模态质量则可按下式计算
，由频响函数拟合得到。
以作为归一, 此时

故质量归一振形为

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