逻辑推理-数学游戏.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高中趣味数学选讲,本节主讲教师：,张宝玲,据说是由清华大学某数学老师写的一封浪漫情书！,它几乎包含了高中的所有数学知识！,我们的心就是一个圆形，因为它的离心率永远是零。,我对你的思念就是一个循环小数，一遍一遍，执迷不悟。,我们就是抛物线，你是焦点，我是准线，,你想我有多深，我念你便有多真。,零向量可以有很多方向，却只有一个长度，,就像我，可以有很多朋友，却只有一个你，值得我来守护。,生活，可以是甜的，也可以是苦的，,但却不能没有你，枯燥平平，,就像分母，可以是正的，也可以是负的，,却不能没有意义，取值为零。,有了你，我的世界才有无穷大，,因为任何实数，都无法表达，我对你深深的爱。,我对你的感情，就像以自然对数,e,为底的指数函数，,不论经过多少求导的风雨，依然不改本色，真情永驻。,不论我们前面是怎样的随机变量，不论未来有多大的方差，相信波谷过了，波峰还会远吗？,你的生活就是我的定义域，你的思想就是我的对应法则，,你的微笑肯定，就是我存在于此的充要条件。,如果你的心是,x,轴，那我就是个正弦函数，围你转动，,有收有放。,如果我的心是,x,轴，那你就是开口向上、,为负的抛物线，永远都在我的心上。,我每天带给你的惊喜和希望，,就像一个无穷集合里的每个元素，虽然取之不尽，却又各不一样。,如果我们有一天身处地球的两侧，咫尺天涯，,那我一定顺着通过地心的大圆来到你的身边，哪怕是用爬。,如果有一天我们分居异面直线的两头，,那我一定穿越时空的阻隔，划条公垂线向你冲来，一刻也不愿逗留。,但如果有一天，我们不幸被上帝扔到数轴的两端，正负无穷，生死相断，,没有关系，只要求个倒数，我们就能心心相依，永远相伴。,1,、,抢十八，两人轮流报数，从,1,开始，每人每次报一个数或两个连续数，谁先报到,18,谁就获胜，,2.,有只猴子在树林采了,100,根,香蕉,堆成一堆，猴子家离香蕉堆,50,米，猴子打算把香蕉背回家，每次最多能背,50,根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最多能背回家几根香 蕉？,3.,在一个与外界不往来的村庄中，住了三个人。这三个人都不能说话，但都很聪明。这村庄人的头发，不是黑色就是红色。这村庄也没有任何可经由反射而看到自己的物体（如：镜子，湖水）所以这三人都无法得知自己头发的颜色。这村庄有个习俗：知道自己头发的颜色后再自杀，可以快乐的上天堂；若猜错自己头发颜色就自杀，那就会痛苦地下地狱。这三个人都很想上天堂，但都苦于无法得知自己的发色而迟迟无法进行。这三人每天中午都会在广场上聚集，彼此相望，希望能得知自己的头发颜色。这种困境一直到一个外地人的介入而打破。有一天，一个外地人进入了这村庄，在广场碰到了这三人，随口说了一句话：你们三人至少有一个是红头发。说完便离开村庄了。当天三人听完这句话，都纷纷回家苦思。第二天中午，三人依旧一起在广场见面。第二天晚上回去，就有两人自杀成功。第三天中午，只剩一个人到广场。此人回去后也自杀成功了。请问：这三人的头发分别为什么颜色？,肯定是两个红色头发，一个黑色头发。,理论上只有四种可能性：红红红，黑黑黑，红黑黑，红红黑。,外地人的话，让他们排除黑黑黑的可能性。如果是红红红，每个人都看到两个红头发，在怎么聪明，也判断不出自己的头发颜色，所以红红红可以排除。如果是红黑黑，那么红头发看见另外两个黑头发，当天就可以自杀成功，而当天没这样做，就证明没有人看到两个黑头发，排除。现在只有一种可能性了，红红黑。第一天回去没人自杀成功，他们也都明白不可能有两个黑头发，同时两个红头发的人能看到有一个黑头发，那么两个红头发的都可以判断应该是红红黑，而自己肯定是红。自杀成功。两个人自杀成功了，,第三个人,看到两个红头发成功，那么自己只可能是黑头发，也成功了。,狂怒的大女子主义者的寓言和股票市场,这个寓言是在,1997,年,10,月股市大跌的一个星期之后。它发生在一个地点不明的愚昧的大女子主义村子里。在这个村子里，有,50,对夫妇，每个女人在别人的丈夫对妻子不忠实时会立即知道，但从来不知道自己的丈夫如何。该村严格的大女子主义章程要求，如果一个女人能够证明她的丈夫不忠实，她必须在当天杀死他。又假定女人们是赞同这一章程的、聪明的、能意识到别的妇女的聪明、并且很仁慈,(,即她们从不向那些丈夫不忠实的妇女通风报信,),。假定在这个村子里发生了这样的事：所有这,50,个男人都不忠实，但没有哪一个女人能够证明她的丈夫的不忠实，以至这个村子能够快活而又小心翼翼地一如既往。有一天早晨，森林的远处有一位德高望重的女族长来拜访。她的诚实众所周知，她的话就像法律。她暗中警告说村子里至少有一个风流的丈夫。这个事实，根据她们已经知道的，只该有微不足道的后果，但是一旦这个事实成为公共知识，会发生什么？,答案是，在女族长的警告之后，将先有,49,个平静的日子，然后，到第,50,天，在一场大流血中，所有的女人都杀死了她们的丈夫。要弄明白这一切是如何发生的，我们首先假定这里只有一个不忠实的丈夫,A,先生。除了,A,太太外，所有人都知道,A,先生的背叛，因而当女族长发表她的声明的时候，只有,A,太太从中得知一点新消息。作为一个聪明人，她意识到如果任何其他的丈夫不忠实，她将会知道。因此，她推断出,A,先生就是那个风流鬼，于是在当天就杀了他。现在假定有两个不忠实的男人，,A,先生和,B,先生。除了,A,太太和,B,太太以外，所有人都知道这两起背叛，而,A,太太只知道,B,太太家的，,B,太太只知道,A,太太家的。,A,太太因而从女族长的声明中一无所获。但是第一天过后，,B,太太并没有杀死,B,先生，她推断出,A,先生一定也有罪。,B,太太也是这样，她从,A,太太第一天没有杀死,A,先生这一事实得知，,B,先生也有罪。于是在第二天，,A,太太和,B,太太都杀死了她们的丈夫。如果情形改为恰好有三个有罪的丈夫，,A,先生、,B,先生和,C,先生，那么女族长的声明在第一天不会造成任何影响，但类似于前面描述的推理过程，,A,太太、,B,太太和,C,太太会从头两天里未发生任何事推断出，她们的丈夫都是有罪的，因而在第三天杀死了他们。借助一个数学归纳法的过程，我们能够得出结论：如果所有,50,个丈夫都是不忠实的，他们的聪明的妻子们终究能在第,50,天证明这一点，使那一天成为正义的大流血日。,现在我们把森林远处来的女族长的警告代替为对,(1997),夏天泰国、马来西亚和其他亚洲国家的通货问题的警告；妻子们的紧张和不安代替为投资者的紧张和不安；妻子们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心满意足代替为投资者们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心满意足；杀丈夫代替为抛股票；警告和杀戮之间的,50,天间隔代替为东亚问题和大崩盘之间的延迟，你就会得到这次大崩盘的成因。更清楚地说，利益息息相关的金融集团们可能已经在怀疑其他的亚洲经济是不堪一击的，但直到某人如此公开地说，并最终发觉了他们自身的不堪一击以前，他们是不会行动的。这样，马来西亚总理在,1997,年,4,月批评西方银行的讲话就起着女族长的警告那样的作用，促成了他最担心的这次危机。幸好不像是故事中的丈夫们那样，市场是能够再生的。华尔街波涛后来的此起彼伏说明，如果妻子们能够让丈夫们在炼狱中短暂停留之后再复活的话，这种类比就会更加逼真。这就是地球村中的生与死、买和卖。,七桥问题,18,世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，,那里有七座桥。如图,1,所示：河中的小岛,A,与河的,左岸,B,、右岸,C,各有两座桥相连结，河中两支流间,的陆地,D,与,A,、,B,、,C,各有一座桥相连结。当时哥尼,斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一,次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发,点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不,了这个问题。,幻方游戏,图,1,中所画的小玩意，和图,2,中的正方形数表是一回事。,右边表中的数是用阿拉伯数字表示的，古老文化披上,了现代服装；左边图中的数是用连在一起的圈圈点点,的个数表示的，保持它原来的面貌。古色古香。,从图,2,容易看出，图中横看每行,3,个数的和都是,15,，,竖看每列,3,个数的和也是,15,，斜看每条对角线上,3,个,数的和还是,15,。,把一些不同整数排列成正方形表格，使其中每个横的行、,每个竖的列，以及正方形的每条对角线上，各个数的和,都相等，这样的数表叫做幻方，意思就是“奇妙的正方形”。,图,1,中的“小玩意”就是一个幻方。这是世界历史上最早,发现的一个幻方。据传说，大约四千多年以前，大禹治,理洪水的时候，有一只神龟从洛水里浮出水面，背上驮,着这个图形，从此这幅图就来到了人间（图,3,）。因为传,说它是从洛水里出来的，所以被叫做洛书。,河图、洛书的图案及内容互相映衬、补充，构成一项系统文化。其玄奥、神秘，尚未破译，但可从中解读出不少东西。以“洛书”为例，其口诀是：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。”其图案如下：,4,9,2,3,5,7,8,1,6,九宫格,如图,1,，将,1,9,九个连续的自然数填入,33,的正方形九个空格内，其每一横行、每一竖行及每条对角线上的三个数之和都等于,15,。像这样的幻方我们称之为三阶幻方。,如图,2,，将,1,25,这二十五个连续的自然数填入,55,的正方形二十五个空格内，其每一横行、每一竖行及每条对角线上的五个数之和都等于,65,。像这样的幻方我们称之为五阶幻方。,三阶幻方、五阶幻方、七阶幻方,都是奇数阶幻方。,简单的幻方制作方法：,一,.,奇数阶幻方,1.,三阶幻方的制作,（,1,）三阶幻方的制作步骤：,1,、将,33,的正方形改画成如图,3-1,形状。,2,、如图,3-2,，将,1,9,九个数字按斜排填入图中。,3,、如图,3-3,，将三阶幻方图外的四个数与图中空格上、下换位，左、右换位，填入到,33,奇数阶幻方图中。,4,、如图,3-4,，擦去三阶幻方图外部分线条和数据即可。,2.,五阶幻方的制作,（,2,）五阶幻方的制作步骤：,1,、将,55,的正方形改画成如图,4-1,形状。,2,、如图,4-2,，将,1,25,这二十五个数字按斜排填入图中。,3,、如图,4-3,，将五阶幻方图外的,12,个数与图中空格上、下换位，左、右换位，填入到,55,奇数阶幻方图中。,4,、如图,4-4,，擦去五阶幻方图外部分线条和数据即可。,上述方法除了适用于三阶幻方、五阶幻方外，同样适用于其他奇数阶幻方。,二、偶数阶幻方,（,1,）每一横行、竖行和对角线上四个数的和都是,34,。,（,2,）每个,22,方格中四个数的和都是,34,。,（,3,）四个角和中间四个数的和都是,34,。,（,4,）构成正方形的四个数的和都是,34,。,1.,四阶幻方,1.,四阶幻方,四阶幻方制作步骤：,1,、把,1,16,十六个数字顺次排成图,6-1,的形式。,2,、如图,6-2,，对角线上的八个数字保持位置不变。,3,、如图,6-3,，,6-4,，把对角线以外的八个数字，按方阵的位置中心作为中心对称换位。,2-15,，,3-14,，,5-12,，,9-8,。,4,、如图,6-5,，形成了一个四阶幻方。,上述的方法，除了可以制作一个四阶幻方外，还可以用来制作一个八阶幻方。,2.,六阶幻方,六阶幻方的制作步骤：,1,、如图,7-1,，将,1,36,这,36,个数中间的,16,个数,11,26,排成一个四阶幻方。,2,、将剩余的,20,个数分成两组，使相对应的两个数的和均为,37,。,小数组：,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,、,7,、,8,、,9,、,10,，,大数组：,36,、,35,、,34,、,33,、,32,、,31,、,30,、,29,、,28,、,27,。,3,、如图,7-2,，将,1,、,2,、,35,、,36,分别填入四个角。,4,、如图,7-3,，将,3,、,4,、,5,、,9,、,28,、,32,、,33,、,34,填入第一行和第六行。使第一行和第六行的六个数的和均为,111,。,5,、如图,7-4,，将剩余的八个数填入第一列和第六列中，使每一列和每一行六个数的和均为,111,，这样就制作成了一个六阶幻方。,本节作业：,试着自己设计一个,7,阶或,8,阶幻方,魔术师的地毯,探究与发现,有,一天,著名魔术师,秋先生,拿了一块长宽都是,1.3,米的地毯去找地毯匠,敬师傅,要求把这块正方形的地毯改制成宽,0.8,米,长,2.1,米的矩形.,敬师傅,对,秋先生,说:,“,这不可能吧,正方形的面积是1,.,69平方米,而矩形的面积只有1,.,68平方米,除非裁去,0.01,米,，不然没法做！”,魔术师拿出事先准备好的两张图,对地毯匠说:“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块,然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了.我不会出错的,你尽管放心,做吧”.地毯匠照着做了,缝好一量,果真是宽,0.8,米,长2,.1,米.魔术师拿着 改好的地毯得意洋洋地走了.而地毯 匠还在纳闷哩,这是什么回事呢?,1,魔术师的地毯设计图,2,魔术师的地毯真相,有,时,眼见,未,必为实.事实上,图(2)中的A,B,C三点不是共线的.因为BC的斜率(8/3)与CA的斜率(13/5)不相等.但,因两斜率相差极小(1/15),故我们肉眼很难看出来.,正,因如此,使得图(2)中,自B到A中间出现一个细长的重叠地带,这个重叠部分是面积减少的原因.地毯比较松软,尺寸不是十分精确,如果选用钢板,这个魔术就做不成了.,3,魔术师的地毯真相,如,果,我们将重叠之处用放大镜放大,发现重叠部分ADBC其实是个平行四边形.,事,实上,如图建立直角坐标系,计算得BC斜率与AD斜率相等,又由图(1)知AD=BC,故ADBC是平行四边形.,通,过计算C点到AB距离,可算出ABC面积,进而算出ADBC面积恰是,0.01,m,2,4,把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为,米（约2.247米,）,的极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术,师,正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一“火眼金睛”,过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长和宽都是,1.2,米，只是上面烧了一个烧饼大小（约,0.01,平方米）的窟窿,秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是,1.2,米敬师傅很为难，觉得这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到,秋先生又拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图,1.4,的尺寸将地毯剪开，再按图,1.5,的样子拼在一起缝好敬师傅照着做了，结果真的得到了一块长和宽仍是,1.2,米的地毯，而原来的窟窿却 消失了魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还在想，补那窟窿的,0.01,平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗？,你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如,10,：,1,）缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为,1,平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于,1,平方厘米了，那么你怎能发现那,1,平方厘米的面积差出在什么地方呢？,魔术师的地毯再发现,5,如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即,5，8，13，21，,这列数有什么规律呢？相邻两数之和，正好是紧跟着的第三个数按照这个规律，5前面应该是（85）3，3前面应是（53）2，2前面应是（32）1，1前面应是（21）1，21后面应为（1321）34，34后面应为（2134）55，等等，于是得到数列,1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，,这个数列的特点是，它的任意相邻三项中前两项之和即为第三项我们称这个数列为斐波那契数列,我们可以使用斐波那契数列的任何相邻四项，来玩上述分割重拼的魔术，我们发现，正方形比重拼成的矩形，时而少一个单位面积，时而又多一个单位面积这是因为重拼时，在矩形对角线附近，有时会重叠一个细长的平行四边形（因此失去一个单位面积），有时又会出现一个细长的平行四边形空隙（因此多出一个单位面积）面积何时变,小,，何时变大，有没有规律呢？,