第2课椭圆⑴.doc

第2课 椭圆⑴
教学目标
1．掌握椭圆的标准方程，进一步巩固待定系数法思想，能根据已知条件求椭圆的标准方程；
2．能用标准方程判定曲线是否是椭圆。
教学重点
椭圆的标准方程及其应用
教学过程
一、问题情境
日常生活中，很多物体都给我们椭圆的映象，如汽车储油罐的横截面的外轮廓线；在人造地球卫星上拍摄的地球的照片；一些家具橱上的装饰镜；……
那么，怎样才能准确地画出一个椭圆？椭圆具有怎样的几何意义？这就是我们要研究的两个问题：
⑴怎样建立椭圆方程？
⑵如何根据椭圆方程研究椭圆的性质？
二、建构数学
椭圆的标准方程

设椭圆的两个焦点分别为F1,F2，它们之间的距离为2c，椭圆上的任意一点到F1,F2的距离之和为2a (2a>2c).
F1
F2
O
y
x
P (x, y)
·
·
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系xoy,则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).

设P(x,y)为椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义，
PF1+PF2=2a ，
即 +=2a
将这个方程移项后两边平方得
a2-cx=a
两边再平方得
(a2-c2)x2+a2y2= a2(a2-c2).
因为a2-c2>0，故设a2-c2＝b2(b>0),于是得
b2x2+a2y2= a2 b2，
两边同除以a2 b2，得
+ =1(a>b>0)
由上述过程可知，椭圆上得点得坐标(x, y)都满足这个方程，且满足这个方程的的点(x, y)都在已知椭圆上。
这样，上述方程就是所求的椭圆的方程。它的焦点为
F1 (-c,0) , F2 (c,0).
类似地，如以F1,F2所在的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴建立直角坐标系xoy,则F1,F2的坐标分别为(0,-c),( 0, c)，则椭圆方程为
+ =1(a>b>0)
以上两种方程都叫做椭圆的标准方程
（其中b2＝a2-c2）
其特征为：中心在原点，对称轴为坐标轴。
友情提示：
1.要特别注意区别焦点在x轴和在y轴上的区别！
小窍门：看x平方和y平方下的分母谁大，哪个大，焦点就在哪根轴上！
2.要特别重视基本量间的关系：a2＝b2＋c2
三、数学应用
F1
F2
O
y
x
P
·
·
例1 已知一个运油车上的储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ,求这个椭圆的标准方程。

分析：这是一个应用问题，求椭圆方程首先要建立直角坐标系，选出对应的标准方程，然后求出待定系数，从而得到椭圆方程。
以两焦点F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系xoy,
答案： + =1
例2 将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线方程，并说明它是什么曲线？
分析：本题实质上是代入法思想。
答案：+y2 =1,变换后的曲线方程表示一个椭圆。
例3方程+ =1表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围.
解：由题意得
, 解得m<0或0<m<
∴m的取值范围为(-∞,0)∪(0, )

例4 求中心在原点，对称轴为坐标轴,且过点M(-2,)和N(1,2)的椭圆方程。

分析：⑴根据焦点在x轴和在y轴上分两种情况讨论求解。
⑵根据椭圆方程的结构，它是一个没有一次项的二元二次方程，可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0, m≠n),
从而有
, ∴
∴所求的椭圆方程为+ =1 .

F1
F2
O
y
x
P
例5 已知F1，F2是椭圆+ =1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且∠F1PF2= ,求⊿F1PF2的面积。
（=）

课堂练习：（课本P28）

1.求适合下列条件的椭圆标准方程：
⑴ a=4, b=3,焦点在x轴上；
⑵b=1,c=,焦点在y轴上；
⑶两个焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0).且过点P(, -);
⑷经过点P(-2,0),Q(0,-3).
答案： ⑴+ =1; ⑵+ x2=1;
⑶+ =1; ⑷+ =1.
2.求下列椭圆的焦点坐标：
⑴+ =1 ;⑵16x2+7y2=112.
答案：⑴(-,0), (,0); ⑵ (0,3), (0,-3)
3.设椭圆+ =1(a>b>0)上的一点P的横坐标是x0,求：⑴点P到椭圆左焦点距离PF1;
⑵点P到椭圆右焦点距离PF2.
解：设P(x0,y0),F1(-c,0),其中c=,则PF1=,
∵+ =1,∴y02=b2-x02 ，
∴PF1=＝=a+x0.
由PF1+PF2=2a知，PF2=a－x0.
作业：
1.求下列椭圆的焦点坐标：
⑴+ y2=1;⑵+ =1;⑶x2+2y2=4;⑷16x2+9y2=144.
2. 求适合下列条件的椭圆标准方程：
⑴a=, b=1,焦点在x轴上；
⑵两个焦点分别是F1(0, -3),F2(0,3).且a=5;
⑶焦点在x轴上，焦距是4，且经过点M(3,-2);
⑷经过点A(2,-),B(-,-)两点，且焦点在x轴上.
3.若F1,F2是椭圆+ =1的两个焦点，过点F1作直线与椭圆交于A,B两点，试求⊿AB F2的周长.
4.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围.
5.设动点P到点F(1,0)的距离是到直线x=9的距离的求点P的轨迹方程，并判定此轨迹是什么图形.

15
x
D
C
B
A
P
y
7.5
O
6.船上两根高7.5m的桅杆相距15m,一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶端，并按如图所示的方式绷紧.假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子于甲板接触点P到桅杆AB的距离.

7.准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F，（如图），然后将纸片展开，就得到一条折痕l,……,这样继续折下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它们形成了什么曲线？
（图见课件）

补充习题：
1.⊿ABC顶点A,B,C的对边分别为a,b,c, a>b>c.且a+c=2b.已知A(-1,0),C(1,0).则B点的轨迹方程是 （ ）
A. +=1 B. +=1(x>0)
C. +=1(-2<x<0) D. +=1(0<x<2)
2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 （ ）
A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
3.已知椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离是3，则P到另一个焦点的距离是 （ ）
A.2 B.3 C. 5 D. 7
4. 设F1,F2是椭圆的两个焦点，|F1F2|=8,P是椭圆上的点，|PF1|+|PF2|=10,且PF1⊥PF2，则这样的点P的个数是
A.4 B.3 C. 2 D. 1
5.椭圆+=1的焦距为2，则m的值等于 （ ）
A.5或3 B.8 C. 5 D. 16
6.椭圆+ =1(a>b>0)经过点P(0,2),又a=3b,则椭圆方程为 .
7.椭圆kx2+3y2－6k=0的一个焦点为(0,2),则k＝ .
8.若方程y2-x2lga=-a表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围为 .
9.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则椭圆方程为 .
10.过椭圆+=1的左焦点F1(-4,0)作直线l交椭圆于A,B两点，F2(4,0)是椭圆的右焦点，求⊿ABF2的周长.
11.已知方程+=1,
⑴若方程表示焦点在x轴的椭圆，求实数k的取值范围；
⑵若方程表示焦点在y轴的椭圆，求实数k的取值范围.
12.已知点P是椭圆+ =1(a>b>0)上的一点，且
∠F1PF2=a，求⊿F1PF2的面积.
13.已知椭圆C1和椭圆C2有相同的焦点，椭圆C2的方程为+=1，椭圆C1过点(0,-2),求椭圆C1的标准方程.

14.在椭圆+=1上是否存在点P，使P与椭圆的两个焦点的连线互相垂直？若存在求出点P的坐标，若不存在，说明理由.