2015中考数学一轮-第27课时-解直角三角形.doc

第27课时 解直角三角形
【知识梳理】
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则有下列关系：x k b 1 . c o m
(1)三边关系：________．
(2)内角关系：________．
(3)边角关系：sin A＝cos________＝，sin B＝cos________＝_______，tanA＝________，tanB＝________．
2．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做_______；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做________．
3．坡面的铅直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度（或_______），记作i，即i＝_______．______________叫做坡角，记作a，则有i＝tana．

【考点例析】
考点一　解直角三角形
例1　如图，在Rt△ABO中，斜边AB＝1．若OC∥BA，∠AOC＝36°，则 ( )
A．点B到AO的距离为sin 54°
B．点B到AO的距离为tan 36°
C．点A到OC的距离为sin 36°sin 54°
D．点A到OC的距离为cos 36°sin 54°
提示 点B到AO的距离是BO的长度，已知斜边AB＝1，所以选择正（余）弦三角函数建立方程，过点A作OC的垂线AH，垂足为H，AH的长度是点A到OC的距离，△AOH与△ABO有公共边OA，通过Rt△ABO可求AO的长，再由Rt△AHO可求AH的长．
例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝1．
(1)如果∠BCD＝30°，求AC的长；
(2)如果tan∠BCD＝，求CD的长．w w w .x k b 1.c o m
提示 (1)由∠BCD＝30°，CD⊥AB可得∠B的度数．
在Rt△ABC中，已知∠B和BC，第一种方法可直接利用
三角函数的定义求AC的长；第二种方法是已知∠B＝60°，
可得∠A＝30°，故可利用“30°角所对的直角边等于斜边x§k§b 1
的一半”求AB的长，再利用勾股定理求AC的长；(2)由tan ∠BCD＝，∠BDC＝90°，故转化为＝，然后设元，利用勾股定理可解出CD的长．

x k b 1 . c o m
考点二　解直角三角形的应用
例3如图，小明在自家楼顶上的点A处测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高度，测得电梯楼顶部B处的仰角为45°，底部C处的俯角为26°．已知小明家楼房的高度AD＝15米，求电梯楼的高度BC(结果精确到0.1米，参考数据：sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90，tan 26°≈0.49)．
提示 首先分析图形，根据题意构造直角三角形，本题涉
及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．过点A
作AE⊥BC，垂足为E先在Rt△AEC中，根据CE＝15米，
∠EAC＝26°，解直角三角形求AE的长．再在Rt△AEB中，
根据AE的长及∠BAE＝45°，解直角三角形求BE的长（也可
由∠BAE＝45°得出△BAE是等腰直角三角形，故可求出BE
的长），进而可求出答案．

例4　南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．如图，一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算，渔政船与A岛的距离AB为10海里，此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需要多少分钟能到达渔船所在的C处（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80， sin 50°≈0.77， cos 50°≈0.64， sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77)?
提示　过点B作BD⊥AC，将△ABC分割为
两个直角三角形，再分别解两个直角三角形即可．

【反馈练习】
1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD＝1，则AC的长是 ( )
A．2 B．2 C．4 D．4

2．如图，为了测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为 ( )
A．10米 B．10米 C．20米 D．米
3．(天水)河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AB的长是_______米．
4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．

5．如图，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，那么这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°．求小华的眼睛到地面的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）．
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