【高考第一轮复习数学】函数专题一.doc

专题一：函数
1.函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量，自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域.如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a),所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.
因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需要两个要素：定义域和对应法则.
2.同一函数：定义域相同，值域相同，对应法则也相同的函数是同一函数.
（1）含有两个端点的数轴区域 设a＜x＜b
3.区间的概念及表示

a
b
x
a
b
x
a
b
x
{x| a≤x≤b}
a≤x≤b
a＜x＜b
a＜x≤b
a≤x＜b
{x| a＜x＜b}
{x| a＜x≤b}
{x| a≤x＜b}
[a，b]
(a，b)
(a，b]
[a，b)
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
a
b
x
其中 a，b 叫做区间的端点．

a
x
a
x
a
x
a
x
x≥ a
x≤ a
x ＞ a
x ＜ a
{x| x≥ a}
{x| x≤ a}
{x| x ＞ a}
{x| x ＜ a}
(－∞ ，a]
[a ，＋∞)
(－∞，a)
(a，＋∞)
对于实数集 R，也可用区间(－ ∞ ，＋∞) 表示 ．
（2）含有一个端点的数轴区域

4.映射的定义
设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x).于是y=f(x),x称作y的原象，映射f也可记作：
f：A→B,x→f(x).
其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A).
注意：（1）映射是一种特殊的对应；
（2）符号“f：A→B”表示A到B的映射；
（3）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则；
（4）集合的顺序性：f：A→B 与 f：B→A是不同的：
（5）箭尾集合中元素的任意性（少一个也不行）。箭头集合中元素的唯一性（多一个也不行）。即只能多对一、一对一，不能开花！
5.一一映射
一般地，设A、B是两个集合。f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
注意：（1）一一映射是一种特殊的映射；
（2）映射和一一映射之间的充要关系；
（3）映射是一一映射的必要而不充分条件；
（4）一一映射： A和B中元素个数相等
6.函数与映射的关系
对于定义域内的每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化，所以函数也就是非空数集到非空数集的映射.
7.函数的表示方法
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系：
图像法：就是用函数的图像表示两个变量之间的函数关系：
解析法：就是把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.
8.函数的单调性
一般地，设函数的定义域为A,区间：如果对于区间I内的任意两个值。当△x=时，都有△y=那么就说在区间I上是增函数，I称为的单调增区间。如果对于区间I内的任意两个值.当△x=时，都有△y=那那么就说在区间I上是减函数，I称为的单调减区间。
如果函数在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数在区间I上具有单调性。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。
(A) 定义法：
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)导数法：
9.函数的奇偶性
如果对于函数y=f (x)的定义域D内任意的一个x，都有-x∈D
（1），f (－x)=－f (x)，则称f (x)为奇函数.
（2），f (－x)＝f (x),则称f (x)为偶函数. x∈D，-x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域不关于坐标原点对称，那么它就失去了是奇函数或者偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数又不是偶函数.
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
说明：在奇函数与偶函数的定义中，都有
①奇、偶函数的性质：
奇函数的图象关于原点对称，反过来，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数。
偶函数的图象的图象关于y轴对称，反过来，若一个函数的图象关于y轴则这个函数是偶函数。
由于奇函数的图像关于原点对称，当f(x)的定义域为R时，必有f(0)=0.
②函数奇偶性的类型：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数。
③两个奇偶函数的四则运算：
两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
10.函数的周期性
一般的，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.