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数学难题分析
1. 过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为(A)
A. B. C. D.
2.已知定义域为的函数满足，当,单调递增，若 ，则的值)(B)
A.恒大于0 B. 恒小于0 C.可能等于0 D.可正可负
3.在中，AC=6，BC=7，，O是的内心，若，其中，动点P的轨迹所覆盖的面积为（ A ）
A. B. C. D.
4.已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( C )
A． B． C． D．
5.定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数,, 的“新驻点”分别为，则的大小关系为( D )
A. B. C. D.
6.已知是奇函数，且，当时，，则当时，=（ A ）
A． B． C． D．
7.以下正确命题的为 ②③④
①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；
②函数的零点在区间内；
③在极坐标系中，极点到直线的距离是．
④函数的图象的切线的斜率的最大值是；
⑤线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.
8. 已知点与点在直线的两侧，给出下列说法：
①； ②当时,有最小值，无最大值；③；
④当且，时，的取值范围为.
其中，所有正确说法的序号是 ③④
9.已知：圆过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线与圆相切 ，与椭圆相交于A，B两点记
（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）求的面积S的取值范围.
解：（Ⅰ）由题意知2c=2,c=1
因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b=1.故a=所求椭圆方程为
（Ⅱ）因为直线l:y=kx+m与圆相切
所以原点O到直线l的距离＝1,即：m
又由　　　　　，（）　　
设A（），B（），则 7分

＝，由，故，ks5u即
（III）
＝，由，得：
，所以：　　　
10.已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ) 过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解： (Ⅰ)则由题设可知，
又 所以椭圆C的方程是.
(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，
将它代入椭圆方程，并整理，得．
设点A、B的坐标分别为，则
因为及
所以

当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，
所以解得
此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.
当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件.
解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是
若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是
由解得.
由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）.
事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：
当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）；
当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得8分
设点A、B的坐标为，则
因为，

所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.
11.在平面直角坐标系中，已知点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上，且 ，求点的纵坐标的取值范围.
解：（Ⅰ）设动点的坐标为，依题意可知，
整理得.
所以动点的轨迹的方程为.
（II）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
将代入并整理得，
. .
设，，则， .
设的中点为，则，，
所以.
由题意可知 又直线的垂直平分线的方程为.
令解得 .
当时，因为，所以；
当时，因为，所以.
综上所述，点纵坐标的取值范围是. .
12.已知函数，曲线在点（）处 ,切线方程是
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设若当时，恒有，求的取值范围.
解：（1）.
由于直线的斜是，且过点（），
∴即（2）由（1）知：则
，令，
当时，，在时，即，在
上是增函数，则，不满足题设.
当时，∵且
∴时，即，在上是增函数，则
，不满足题设.当时，则，
由得
；
则，时，，即，在上是增函数，则
，不满足题设.
当时，，即，在上是减函数，则，满足题设. 综上所述，--
13.已知直线与函数的图象相切于点，且与函数的图象也相切。
（1）求直线的方程及的值；
（2）若，求函数的最大值；
（3）若恒成立，求的取值范围。
解：（1）的图象在点（1，0）处的切线。
又因为直线的图象相切，

（2）由（1）知

当
于是，上单调递减。所以，当
（3）
由（2）可知对任意恒成立
且
若恒成立，则的取值范围为且（12分）
14. 已知．
（Ⅰ）已知对于给定区间，存在使得成立，求证：唯一；
（Ⅱ）若，当时，比较和大小，并说明理由；
（Ⅲ）设A、B、C是函数图象上三个不同的点，
求证：△ABC是钝角三角形．

解：（Ⅰ）证明：假设存在
， ，即 .
∵，∴上的单调增函数（或者通过复合函数单调性说明的单调性）.∴矛盾，即是唯一的.
（Ⅱ） 原因如下：
(法一)设 则

.
∵.
∴1+，

.
（法二）设，则．
由（Ⅰ）知单调增．
所以当即时，有
所以时，单调减．
当即时，有
所以时，单调增．
所以，所以．
（Ⅲ）证明：设，因为
∵上的单调减函数． 10分
∴．∵
∴．∵
∴为钝角. 故△为钝角三角形．
15.已知函数是自然对数的底数，）
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（3）证明对一切恒成立
解：（1）当a=-15时

上为减函数，对于任意，都有，故有
即 即．
16.已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，求证：函数只有一个零点，且；
（Ⅲ）当时，记函数的零点为，若对任意且都有成立，求实数的最大值.
（本题可参考数据：）
（Ⅰ）解：的定义域为.
. 令，或.
当时，，函数与随的变化情况如下表：

0

0

极小值

极大值

所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.
当时，. 所以，函数的单调递减区间是.
当时，，函数与随的变化情况如下表：

0

0

0

极小值

极大值

所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.
（Ⅱ）证明：当时，由（Ⅰ）知，的极小值为，极大值为.
因为，，且在上是减函数，所以至多有一个零点.
又因为，
所以 函数只有一个零点，且.
（Ⅲ）解：因为，
所以 对任意且由(Ⅱ)可知：，，且.
因为 函数在上是增函数，在上是减函数，
所以 ，. 所以 .
当时，=>0.
所以 .
所以 的最小值为.
所以 使得恒成立的的最大值为.

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