平面几何专题(折叠与平移、图形的切割、坐标与图形).doc

对称与折叠
² 题型概述：对称与折叠是对全等和轴对称等知识的灵活运用，在解答这类问题时，一般先作出折叠前后的图形形状及位置，然后再利用轴对称性质和其他相关知识进行解题.折叠问题是对轴对称和中心对称问题的一个深入考察。
² 题型讲解：
1、对轴对称和中心对称概念的考察
观察右图图案，其中既是轴对称，又是中心对称图形的有()
A 1个 B 2个 C 3个 D4个

22、3、4、5题均是对空间想象能力的考察，如果想象不出来，可以通过折纸片来理解，注意轴对称图形性质的应用

、如图示，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上；叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）
B
D
C
A
A
B
D
C
H
G
E
F
F
B
C
G(A)
H(D)
E
G(A)
HD)
FC)
E(B)

3、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ）

4、将一张纸第一次翻折，折痕为（如图1），第二次翻折，折痕为（如图2），第三次翻折使与重合，折痕为（如图3），第四次翻折使与重合，折痕为（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则的大小是（ ）
A． B． C． D．

5、将一张长70cm的长方形纸片ABCD,沿对称轴EF折叠成如右图的形状,若折叠后,AB与CD间的距离为60cm,则原纸片的宽AB=_________cm

6第6题以后是对轴对称性质，全等三角形等性质的灵活考察
、三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E，折痕DE的长为　　　　　

7、如图，在三角形中，＞，、分别是、上的点，△沿线段翻折，使点落在边上，记为．若四边形是菱形，则下列说法正确的是 （ ）
A
B
C
D
E

A． 是△的中位线 B． 是边上的中线
C． 是边上的高 D． 是△的角平分线

8、如图，将矩形ABCD(AB<CD)沿对角线BD折叠，使C落在C＇处，BC＇交AD于E，点C落在点C＇处,且B C＇交AD于E,
(1) 若AB=4,BC=8求DE的长
(2) 当DA平分∠C＇DB时,的值

9、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落
在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律

10、如下图所示矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边的点上，这很的一端点在边BC上，BG=15
(1)、当折痕的另一端F在AB边上时，如左图，求的面积；
(2)、当折痕的另一端F在AD边上时，如右图，证明四边形BGEF为菱形，并求折痕GF的长
（一元二次方程的解为）

11、将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G
（1） 如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5
如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由

12、将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．，．
（1）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（2）连结，将沿翻折，得到，如图2．问： 与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
图1
O
P
A
x
B
D
C
Q
y
（第11题图）
图2
O
P
A
x
B
C
Q
y
E

13、 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.

² 总结：折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质．根据轴对称的性质可以得到：（1）轴对称是全等变换：折叠重合部分一定全等（有边、角的相等）；（2）点的轴对称性：互相重合两点（对称点）之间的连线必被折痕（对称轴）垂直平分（有Rt△，可应用勾股定理得方程）．

分割与拼合
² 分割与拼合问题综述：分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则），然后让你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分；拼合是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，得到一个新的图形的过程。解决这类问题的时候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割和拼合。
² 常见分割的几种类型
Ø 运用对称的性质分割
例1：今有一块正方形土地土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的筑路方案。？

Ø 运用面积公式分割与拼合
例2：某班研究性学习小组在研究用一条直线等分几何图形的面积是，发现如下事实：

（一）如图（1），对于三角形ABC，取BC边中点D，过A、D两点画一条直线即可。理由：∵△ABD与△ADC等底等高，∴S△ABD＝S△ADC。
（二）如图（2），对于平行四边形ABCD，连接两对角线AC、BD交于点O过O点任作一直线MN即可。（不妨设与AD、BC分别交于点M、N）。
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO。
问题：请你研究一下，对于梯形ABCD，怎样画出等分其面积的直线，找出三种不同的分法，写出你的画法并说明理由。（相同的理由的分法只能算一种）

Ø 借助计算分割和拼合
例3：龙栖山自然风景区有一块长12米，宽8米的矩形花圃，喷水嘴安装在矩形对角线的交点P上（如图1），现计划从点P引三条射线把花圃分成面积相等的三个部分，分别种不同的花（不考虑各部分之间的空隙）。请你通过计算，形成多个设计方案，并根据你的方案设计图答出三条与矩形有关边交点位置。

例4：如图（1），O是矩形ABCD的对角线的交点，过点O作一直线分别交BC、AD与点M、N。
（1）求证：S四边形ABMN＝S四边形CDMN
（2）现有如图（2）所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案。
（在图（2）、图（3）、图（4）中分别画出一条直线，不写作法，保留作图痕迹）

3、训练题
(1)、四年一度的数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会图标如右图所示，它是由四个相同的直角三角形和中间的小正方形拼成的，一个大正方形，已知大正方形面积是13，每个三角形两个直角边的和是5，求中间小正方形的面积（一元二次方程的解为）
(2)借助计算进行分割和拼合
、现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如下图所示，请你将她分割成6块，再拼合成一个正方形（要求现在图中画出分割线在画出拼成的正方形，并标明相应数据）

(3)全等三角形和面积法
、如下图所示，正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：

(a) 如下图所示，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形

(b) 如下图，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形

(4)、在数学活动课上，老师要求同学们先做下面的“循环分割”操作，然后再探索规律。如图，是一个等腰梯形纸片，其腰长与上底相等，且底角分别为和，按要求开始操作（每次分割纸片不得留有剩余）

第1次分割：现将原等腰梯形纸片分割成3个全等的正三角形，然后将分割处的一个正三角形分割成3个全等的等腰梯形；
第2次分割：将上次分割出的3个等腰梯形中的一个分割称3个全等的正三角形；然后将刚分出的一个正三角形分割成3个全等的等腰梯形；以后按第二次分割的方法进行下去……
（a） 请你在图(2)中画出第一次分割的方案图；
（b） 若原等腰梯形的面积为，请你通过操作、观察，将第2次、第3次分割后所得的一个最小的等腰梯形面积分别填入下表中
分割次数(n)
1
2
3
…
一个最小等腰梯形的面积(S)

…
（c） 请你猜想，分割所得的一个最小等腰梯形的面积S与分割次数n有何关系？（直接用含的式子表示，不需给出推理过程）

(5)、（a）如图已知中，，，请画出一条直线，把这个三角形分割称两个等腰三角形；
（b）已知中，是其最小的内角，过定点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，请探求与之间的关系

图形与坐标
² 图形与坐标是中考中的难点，主要涉及到的问题有：①点的坐标的计算（通常与图形的变换相结合）；②坐标系、图形与运动的结合
² 点的坐标常用计算方法：
Ø 转化为求相应线段的长
例1 如图在直角坐标系中，将长方形OABC沿OB对折，使点A落在处，已知，，则点的坐标为______________

Ø 交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组
例2如图正方形OABC的顶点A的坐标是(，1)。
y
x
O
A
D
B
C
① 求点C的坐标； ②求阴影部分OCBD的面积。

² 坐标系、图形与运动的结合（重点、难点），解决此类问题的关键在于将运动的点看成静止的，假设在某一时刻t，则先短的长度可以表示为t的函数，即可利用平面几何中的相似图形、全等图形等工具求解
例3 如图已知直线的解析式为，直线与轴、轴分别相较于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为(8,0)，又已知点P在轴上冲点A向点C移动，点Q在直线上从点C向点B移动，点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t(秒)（）
(a) 求直线的解析式
(b) 设的面积为S，请求出S关于t的函数关系式
(c) 试探究：当t为何值时，为等腰三角形

² 训练题：
(1)、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，AB与轴正方向成300的角，求点B、C的坐标.

(2)、如图，在平面直角坐标系中，点C(-3,0),点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足
(a) 求点A、点B的坐标
(b) 若点P从点C除法，以每秒1各单位的速度沿射线CB运动，连接AP，设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围
(c) 在（b）的条件下，是否存在点P，使以点A、B、P为顶点的三角形与相似？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由

(3)、如图，矩形中，，，是的中点，点在矩形的边上沿运动，则的面积与点经过的路程之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
1
1
2
3
3.5
x
y
0
A．
1
1
2
3
3.5
x
y
0
B．
1
1
2
3
3.5
x
y
0
1
1
2
3
3.5
x
y
0

(4)、如图(1)，直线与x轴交于B点，与直线交于y轴上一点A，且与x轴的交点为C(1,0).
(a)求证：；
(b)如图(2)，果x轴上一点D(-3,0).作与E，DE交y轴与F点，交AB于G点，求G点的坐标；
(c)如图(3)，将沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P（P不同于A、C两点），果P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于M点，且CP=BQ，在的平移过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变化，求其长度；若变化，确定其变化范围

(5)、已知平面上四点A(0,0),B(10,0),C(10,6),D(0,6),直线将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为_____________
(6)、如图，已知点在第一象限角平分线OC上，一直角定点P在OC上，两角边与x轴、y轴分别交于A点，B点
(a)、求点P坐标
(b)、当绕着点P旋转时，OA+OB的长是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求其值。

(7)、如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标为（-2，0）。
(a) 试说明是等腰三角形；
(b) 懂点M从A点出发沿x轴向B点运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度。当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动。设点M运动t秒时，的面积为S。
(i)求S与t的函数关系式
(ii)、当点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在，说明理由；
（iii）、在运动过程中，当为直角三角形时，求t的值。