数学解题真经(十二)寻旧思想的表现形式.doc

寻旧思想的表现形式---杨飞
寻旧思想在解题过程的思维活动中主要表现为以下两种形式。
一、求同寻旧
我们在感知问题的信息时，眼睛如照相机一样将问题所呈现的信息符号拍摄下来，这些符号通过视觉神经传输到大脑，大脑首先对信息符号进行识别、分类，然后寻找信息符号在认知结构中的联络点，联络点一经找到，就说明问题信息与认知结构中的某项知识经验存在一定的共性。求同寻旧：就是问题解决中人的思维活动总是表现为寻找问题信息与认知结构中的某项知识经验的共性。特别是形式上和内容上的共同点。对于数学问题的解答，主要是寻找问题信息与认知结构中的某个公式、某个定理或某个曾经解决过的问题等在表达形式上或内容上的共同点。
二、求异寻旧
问题的信息符号输入到大脑后，由于认知结构的贫乏或活性不足，大脑对问题信息可能感到陌生，虽能对信息符号进行准确地识别，却找不到信息符号在认知结构中的联络点。那么这个问题对解题者可能就是一个难以解决的疑难。另一种情况，解题者虽然没有找到信息符号在认知结构中清晰的联络点，但已经发现一点模糊联系，并不是指解题方案有一点线索，有时只是对问题信息的处理有一点思绪，至于信息处理后是否有利于问题解决，解题者依然茫然。虽然问题信息与熟悉结构的联系如此微弱，但毕竟还存在一缕，只是其间还有一些差异。求异寻旧：就是问题解决中人的思维活动总是表现为寻找问题信息与认知结构中的某项知识经验的个性，以便化异为同，促使问题信息与认知结构的网点顺利链接。
求同寻旧与求异寻旧在解题过程过程中总是结伴而行。一般来说，两事物总是存在着区别和联系。相同之外有不同，不同之中有相同，没有完全相同的两件事物。寻旧就是寻找问题信息与认知结构中知识经验的联系和区别，特别要善于在不同之中找到一点共性，在相似之处要发现一点差异。求同寻旧旨在寻找联系，以致为处理信息或问题解决提出假设方案；求异寻旧旨在发现差异，从而为化归变化指明方向，所以求同求异是不可分的。
例1 如果方程组只有一组解，试求k的值.
求同寻旧 由于我们认知结构中有这样一项经验─── 一元二次方程根的存在及判定，而这个问题的信息是求方程组的一组解。二者存在共性：都是与求解相关的问题。
求异寻旧 认知经验是“一元二次方程”，而此问题是“二元二次对数方程组”，二者在元的个数和方程的个数上存在着差异。这就要求我们进行形变化归，化异为同。
（形变化归）由 ①
由于， 设，则①化为
（已化为一元二次方程） ②
（题变化归）要使原方程组只有一组解，只需方程②只有一个根即可.
所以 或 .
例2 已知，求证：.
解法1 （题变化归（信息综合））由于条件和结论都是三角等式，而结论信息是不含角的三角等式。
求同寻旧 根据认知经验“条件中含有角的三角函数，而结论中不含角的三角函数式。就应当对条件信息进行加工处理，消去”. 我们联系到熟悉结构的经验，就会产生“先解出，，然后平方消去参数”这一化归方案.
（形变化归）由 ①
又 ②
由①②得：
因，则.
解法2 （形变化归）
③
（题变化归）信息③与结论信息进行综合可以发现：要证成立，
只需证明即可.
求同寻旧 根据我们的认知经验中解方程的方法，就产生由题设信息消去，求出的值这一假设方案.
由已知得

或.
由于，所以，则（舍）.
那么. 由此可知 .
例1通过求同寻旧明确了解题方向，通过求异寻旧找到了形变化归方法。例2通过求同寻旧提出了消角和求的解题思路。所以，一切解题方案和化归方案都是寻旧思想对大脑作用的产物。