2.3-距离空间的可分性与完备性.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第1页页 距离空距离空间间的可分性的可分性 有理数在有理数在实实数集中的稠密性数集中的稠密性 第三第三节节 距离空距离空间间的可分性与完的可分性与完备备性性 距离空距离空间间的完的完备备性性 实实数的完数的完备备性性 一般距离空一般距离空间间的完的完备备化化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第2页页已知：在已知：在实实直直线线上，上，存在一个存在一个处处处处稠密的可数子集稠密的可数子集Q,且成立完且成立完备备性定理（即柯西收性定理（即柯西收敛敛原理原理)。问题问题：在一般的距离空：在一般的距离空间间中，是否存在一个中，是否存在一个处处处处稠密稠密 的可数子集？完的可数子集？完备备性定理是否性定理是否总总成立？成立？机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第3页页 一、距离空一、距离空间间的可分性的可分性1.1.距离空距离空间间中的稠密子集中的稠密子集注注:1)B在在A中稠密中稠密 x A,0,S(x,)内含有内含有B中的点中的点 x A,有有x B 或或x BA B 2)B在在X中稠密中稠密 x X,0,S(x,)内含有内含有B中的点中的点 x X,有有x B或或x B X B B=X定定义1（稠密性（稠密性)设X是距离空是距离空间，A X,B X.(1)B在在A中稠密中稠密,若若对于于 x A,xn B,使使xnx(n)(2)B在在X中中处处稠密稠密(或或B是是X的一个稠密子集的一个稠密子集),若若对于于 x X,xn B,使使xnx(n).机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第4页页例例1 有理数集在有理数集在R中中处处处处稠密稠密.例例2 Rn中的有理点集在中的有理点集在Rn中稠密可数中稠密可数.例例3 多多项项式集合式集合P在在Ca,b Lpa,b中中处处处处稠密稠密.(魏魏尔尔斯特拉斯一致逼近定理斯特拉斯一致逼近定理:x(t)Ca,b,pn(t)P,使使pn(t)x(t)(n),即即pn(t)按按Ca,b中的距离收中的距离收敛敛于于x(t).)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第5页页例例4 a,b上的有界可上的有界可测测函数集合函数集合Ba,b在在Lpa,b(p 1)中中处处处处稠密稠密.证证:x(t)Lpa,b,定定义义函数列函数列xn(t)(n=1,2,)是是a,b上的有界可上的有界可测测函数函数,且有且有x(t)Lpa,b x(t)p L1a,b0,0,使当使当E0 E=a,b,m(E0)N时时,m(E(x n)0,=(/2K)p,y(t)Ca,b使得使得 m(E(x(t)y(t)(由由鲁鲁金定理金定理)不妨不妨设设 y(t)K,E0=E(x(t)y(t)(x,y)0,p(t)P Ca,b,使使 (x,p)=max|x(t)-p(t)|0,p0(t)P0 P,使使 (p,p0)=max|p(t)-p0(t)|0,p0(t)P0 P Ca,b,使使 (x,p0)=max|x(t)-p0(t)|max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p0(t)|0,有理系数多有理系数多项项式式 p0(t)P0，使，使 C(x,p0)=max|x(t)-p0(t)|/(b-a)1/p例例5 Lpa,b是可分的是可分的.（多（多项项式集合式集合P在在Ca,b Lpa,b中稠密中稠密有理系数多有理系数多项项式集合式集合P0在在Lpa,b中稠密可数）中稠密可数）机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第10页页例例6 l p(p 1)与与c 都是可分的都是可分的.（有理点集（有理点集A=x=(x1,xn,0,)|xi Q在在lp(p 1)和和c中都中都处处处处稠密）稠密）例例7 设设X是离散距离空是离散距离空间间,证证明明X 可分可分X是可数集是可数集 证证：在离散距离空：在离散距离空间间中中设设有稠密真子集，所以有稠密真子集，所以X中唯一的稠密子中唯一的稠密子集只有集只有X自身自身。故故X 可分可分X可数。可数。注：可注：可见见并非所有的距离空并非所有的距离空间间都是可分的。都是可分的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第11页页 注：定注：定义义在任何一个在任何一个势为势为(即不可数即不可数)非空集合上的离散距离空非空集合上的离散距离空间间一定是不一定是不可分的。可分的。(上例中的上例中的A也是不可分的。也是不可分的。)2）证证明明m中没有可数稠密子集中没有可数稠密子集(反反证证法法).设设m可分可分 A0=x=(1,2,n,)|i|K m可数可数,且在且在m中稠密中稠密 A0=xk,xk=(1(k),2(k),n(k)A0，且，且 A mS(xk,1/3）(k=1,2,)A0可数可数,A不可不可x,y A,x y,并并 x0 A0,使使S(x0,1/3)x,y 1=(x,y)(x,x0)+(x0,y)0,N=N(),当当m,nN时,有有 (xm,xn)0,N,当当m,n N时,同同时有有(xn,x)/2,(xm,x)N时,有有(xm,xn)(xn,x)+(xm,x)0,N=N(),当当m,nN时,有有 (xn,xm)=max|xn(t)-xm(t)|N时，有有|xn(t)-xm(t)|N时,有有 设xi(k)xi (k)(i=1,2,n),令令x=(x1,xn)Rn（k）Rn按欧氏距离构成的欧氏空按欧氏距离构成的欧氏空间是完是完备的的.xi(k)是基本列是基本列,因而因而xi(k)收收敛 0,N,当当k,jN时,有有 0,N,当当kN,j时，有，有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第16页页例例6 空空间Lpa,b、lp、l (or m)、c 均均为完完备的距离空的距离空间。证:x(k)l 为一基本列一基本列,对于于i=1,2,n,当当k,jN时,有有|xi(k)xi(j)|N时时，有，有x(k)l xi(k)Mk,(k=1,2,)xixi-xi(k)+xi(k)+Mk,i=1,2,x=x1,x2,xn,)l 0,N,当当k,jN时,有有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第17页页例例7 有理数集有理数集Q按距离按距离(x,y)=|x-y|是距离空是距离空间,但不完但不完备.事事实上，上，在有理数集在有理数集Q中，有理数列中，有理数列(1+1/n)n收收敛,因而是基本列因而是基本列,但其极但其极限限为e Q，故，故Q不完不完备.例例8 a,b上上实实系数多系数多项项式全体式全体Pa,b按按Ca,b中通常的距离构成中通常的距离构成Ca,b的子空的子空间间,但它是不完但它是不完备备的距离空的距离空间间。事事实实上上,存在多存在多项项式列式列 pn(t)一致收一致收敛敛于于x(t):x(t)Ca,b.x(t)Pa,b(但是确但是确实存在着不完存在着不完备的距离空的距离空间)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第18页页例例9 C0,1按距离按距离 构成的距离空构成的距离空间是是L10,1的子空的子空间，但它按，但它按 1(x,y)不完不完备.(m=1,2,)xm C0,1是基本列。是基本列。011/2am011/2aman证证:构造函数列构造函数列xm(t)C 0,1:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第19页页如果存在如果存在x(t)使使 1(xm,x)0(m),由于由于显显然然x(t)C0,1，所以，所以C0,1按距离按距离 1(x,y)不完不完备。可以可以证证明明xm在在C0,1 中按中按 1(x,y)不收不收敛敛。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第20页页例例10 Ca,b按距离按距离 构成的距构成的距离离空空间是是L2a,b的子空的子空间，但它按，但它按 2(x,y)不完不完备.证证:构造函数列构造函数列xn(t)Ca,b:|xn(t)|0,N0,当当nN时,(xn,x)N,mN时,(xn,xm)(xn,x)+(x,xm)xn是基本列是基本列 “必要性必要性”设xn X是基本列是基本列,X完完备xn X是收是收敛点列点列（完（完备性定性定义）2）“必要性必要性”设xn F X是基本列，是基本列，F是是X的的闭子空子空间.X完完备，xn是基本列是基本列 x X,使使xnx(n)F闭 x F=Fxn在在F中收中收敛F完完备 “充分性充分性”设F完完备.xn F，xnx xn F是基本列，是基本列，F完完备x F F是是闭的。的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第23页页3.完完备备距离空距离空间间的两个基本定理的两个基本定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第24页页 定定义义5（稀疏集与第二（稀疏集与第二纲纲集）集）设设X是距离空是距离空间间 1）若）若X中任一个球都含有某一个球，使后者不含中任一个球都含有某一个球，使后者不含A的点，的点，则则称称A为为X中的稀疏集（疏朗集）。中的稀疏集（疏朗集）。2）若）若A=An，每个，每个An都在都在X内稀疏，内稀疏，则则称称A是在是在X内的第一内的第一纲纲集集,而而X内的非第一内的非第一纲纲集的集合称集的集合称为为第二第二纲纲集集.注：注：1在稀疏集定在稀疏集定义义中，中，“任意球任意球”可以是开球或可以是开球或闭闭球球.2在在R中，有理数集是第一中，有理数集是第一纲纲集，而无理数集是第二集，而无理数集是第二纲纲集。集。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第25页页定理定理3 设设X是距离空是距离空间间，A是稀疏集是稀疏集A不在不在X的任意球中稠密。的任意球中稠密。证证“”设设A稀疏稀疏 S(x0,),S(x1,)S(x0,),使使S(x1,)A=A不在不在S(x0,)中稠密中稠密 “”设设A不在任一球中稠密不在任一球中稠密 S(x0,),x1 S(x0,),但但x1 A S(x1,)S(x0,),使使S(x1,)A=定理定理4(第二第二纲纲集定理集定理)设设X是完是完备备的距离空的距离空间间，则则X是第二是第二纲纲集。集。推推论论:给给定完定完备备的距离空的距离空间间X,若若A X是第一是第一纲纲集集,则则AC 是第二是第二纲纲集。集。例如例如:由于有理数是由于有理数是R内的第一内的第一纲纲集，故无理数是集，故无理数是R内的第二内的第二纲纲集。集。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第26页页注：注：1 1）闭闭球套定理是完球套定理是完备备距离空距离空间间中的重要定理之一；刻划了中的重要定理之一；刻划了距离空距离空间间的完的完备备性；是性；是实实数中的康托区数中的康托区间间套定理的推广。套定理的推广。2 2）第二）第二纲纲集定理是完集定理是完备备距离空距离空间间的重要定理之二。的重要定理之二。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第27页页 完完备备性可以使空性可以使空间间具有很好的性具有很好的性质质和广泛的和广泛的应应用，用，对对于不完于不完备备的的距离空距离空间间，它在，它在应应用上将会造成很多困用上将会造成很多困难难。4.距离空距离空间间的完的完备备化化问题问题：能否在不完：能否在不完备备的距离空的距离空间间中中补补充一些新充一些新“点点”，使之成使之成为为完完备备的距离空的距离空间间？例如在有理数集例如在有理数集Q中加入中加入“无理数无理数”，便得到完，便得到完备备度量空度量空间间R，并，并且且Q在在R中稠密。中稠密。这这就是所就是所谓谓的距离空的距离空间间完完备备化化问题问题。定定义义6 （等距映射与等距同构）（等距映射与等距同构）设设(X,X)和和(Y,Y)是两个距离空是两个距离空间间,如果存在一个如果存在一个满满射射T:XY,使得使得 x,y X,有有 Y(Tx,Ty)=X(x,y)则则称称T使使X到到Y的等距映射，并称的等距映射，并称X与与Y是等距同构的。是等距同构的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第28页页定定义义7 （完（完备备化空化空间间）设设(X,X)是距离空是距离空间间,(Y,Y)是一个完是一个完备备的距离空的距离空间间，Y1 Y,如果如果(1)X与与Y1等距同构等距同构;(2)Y1在在Y内稠密内稠密,则则称称Y是是X的完的完备备化空化空间间定理定理4 （完（完备备化空化空间间的存在性）的存在性）设设(X,X)是任一距离空是任一距离空间间,则则必必存在唯一完存在唯一完备备的距离空的距离空间间(Y,Y)，使，使X与与Y的一个稠密子集的一个稠密子集Y1等等距同构距同构注：注：泛函分析中，把两个等距同构的距离空泛函分析中，把两个等距同构的距离空间间不加区不加区别别而而视为视为同一。同一。