高三文科数学010.doc

东北师范大学附属中学网校（版权所有 不得复制）
期数： 0509 SXG3 010
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

[同步教学信息]
寄语：
从今天开始我们进入了高三总复习阶段，笔者想和考生谈几点想法：
近几年高考数学试题坚持“新题不难、难题不怪”的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”。就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。尽管复习时间比较紧张，但我们仍然要注意回归课本知识。回归课本，并不是强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对照课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练，这样复习才有实效。
预 习 篇

预习篇六 高三文科数学总复习一
——集合

【学法引导】
集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.

【基础知识概要】
集合的初步知识包括集合的有关概念、集合的表示方法以及集合与集合之间的关系.
1．集合的基本概念
（1）集合的关系
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素. 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；
不含任何元素的集合叫做空集，记做.
（2）集合可分为有限集与无限集；
（3）集合的表示法：列举法、描述法以及图示法；
（4）常见的数集：N（自然数集）、 Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）.
2．集合与集合的关系
（1）对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含集合A，记作，这时也说集合A是集合B的子集，对于两个集合A与B，如果，且，那么A=B.
（2）补集：如果，那么A在S中的补集.
全集：如果一个集合含有要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示.
（3）交集：，并集：.
对于任何两个集合A，B有以下性质：

【应用举例】
例1 已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.
解：由得x2+(m－1)x+1=0. ①
∵A∩B≠
∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.
当m≤－1时，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
故所求m的取值范围是m≤－1.
例2 设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，证明此结论.
命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.
知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=，这样难度就降低了.
错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.
技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.
解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=.
∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0.
∵A∩C=,
∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0.
∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0,
即b2>1. ①
∵
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0.
∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0.
∴k2-2k+8b-19<0,从而8b<20,即b<2.5. ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得

∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.
例3 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.
知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.
错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.

技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.
依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.
所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.
●解法引导
1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
2．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.

【强化训练】
一、选择题
1．集合M={x|x=,k∈Z}，N={x|x=,k∈Z}，则( )
A.M=N B.MN C.MN D.M∩N=
2．已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m－1}且B≠,若A∪B=A，则( )
A.－3≤m≤4 B.－3<m<4
C.2<m<4 D.2<m≤4
二、填空题
3．已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是_______.
4．x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|=1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元素时，a，b的关系式是_________.
三、解答题
5．集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求当a取什么实数时，A∩B 和A∩C=同时成立.
6．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*}，B={(x,y)| x2－y2=1，x，y∈R}.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠.
7．设f(x)=x2+px+q，A={x|x=f(x)}，B={x|f［f(x)］=x}.
(1)求证：AB;
(2)如果A={－1，3}，求B.
参考答案
一、1．解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(n∈Z),
M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z},对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),
N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.
答案：C
2．解析：∵A∪B=A，∴BA,
又B≠,
∴即2＜m≤4.
答案：D
二、3．a=0或a≥
4．解析：由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线=1相切，则1=,即ab=.
答案：ab=
三、5．解：log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3}.
由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，
∴2和－4都不是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠,
∴3是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.
当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C=不符合，所以a=5(舍去)；当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B ，∴a=－2.
6．解：(1)正确.在等差数列{an}中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,）的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上.
(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解.
∴A∩B至多有一个元素.
(3)不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=＜0,y0=＜0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的.
8．(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.
∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).
即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB.
(2)证明：∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x},
∴方程x2+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得

∴f(x)=x2－x－3.
于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根.
将方程(*)变形，得(x2－x－3)2－x2=0，
解得x=1,3,,－.
故B={－，－1，，3}.