高等数学教案3-1.DOC

§3．1 中值定理
第三章 中值定理与导数的应用
§3. 1 中值定理
一、罗尔定理
费马引理
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 并且在x0处可导, 如果对任意xÎU(x0), 有
f(x)£f(x0) (或f(x)³f(x0)),
那么f ¢(x0)=0.

罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)内至少在一点x , 使得f ¢(x)=0.
简要证明: (1)如果f(x)是常函数, 则f ¢(x)º0, 定理的结论显然成立.
(2)如果f(x)不是常函数, 则f(x)在(a, b)内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点xÎ(a, b). 于是
,
,
所以f ¢(x)=0.
罗尔定理的几何意义:
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少有一点x(a<x<b), 使得等式
f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a)
成立.
拉格朗日中值定理的几何意义:
f ¢(x)=,
定理的证明: 引进辅函数
令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a).
容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件: j(a)=j(b)=0, j(x)在闭区间[a, b] 上连续在开区间(a, b)内可导, 且
j ¢(x)=f ¢(x)-.
根据罗尔定理, 可知在开区间(a, b)内至少有一点x, 使j ¢(x)=0, 即
f ¢(x)-=0.
由此得 = f ¢(x) ,
即 f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a).
定理证毕.
f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b<a也成立.
拉格朗日中值公式的其它形式:
设x 为区间[a, b]内一点, x+Dx 为这区间内的另一点(Dx>0或Dx<0), 则在[x, x+Dx ] (Dx>0)或[x+Dx, x ] (Dx<0)应用拉格朗日中值公式, 得
f(x+Dx)-f(x)=f ¢(x+qDx)Dx (0<q<1).
如果记f(x)为y, 则上式又可写为
Dy=f ¢(x+qDx)Dx (0<q<1).
试与微分d y=f ¢(x)Dx 比较: d y =f ¢(x)Dx是函数增量Dy 的近似表达式, 而
f ¢(x+qDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式.
作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:
定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零, 那么f(x)在区间I上是一个常数.
证 在区间I上任取两点x1, x2(x1<x2), 应用拉格朗日中值定理, 就得
f(x2)-f(x1)=f ¢(x)(x2 - x1) (x1<x< x2).
由假定, f ¢(x)=0, 所以f(x2)-f(x1)=0, 即
f(x2)=f(x1).
因为x1, x2是I上任意两点, 所以上面的等式表明: f(x)在I上的函数值总是相等的, 这就是说, f(x)在区间I上是一个常数.
例2. 证明当x>0时, .
证 设f(x)=ln(1+x), 显然f(x)在区间[0, x]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有
f(x)-f(0)=f ¢(x)(x-0), 0<x<x。
由于f(0)=0, , 因此上式即为
.
又由0<x<x, 有
.

三、柯西中值定理
设曲线弧C由参数方程
(a£x£b)
表示, 其中x为参数. 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C上必有一点x=x , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点x=x 处的切线的斜率为
,
弦AB的斜率为
.
于是
.
柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且F ¢(x)在(a, b)内的每一点处均不为零, 那么在(a, b)内至少有一点x , 使等式
.
成立.
显然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F ¢(x)=1, 因而柯西中值公式就可以写成:
f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a) (a<x<b),
这样就变成了拉格朗日中值公式了.

3