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课外辅导讲解
二、作轴对称图形 姓名_________
1、利用对称轴的性质作轴对称图形。
2、利用作图画出最短路径及求最短路程。
3、利用坐标表示轴对称，了解坐标关于x轴，y轴对称的特点。
【例题讲解】
例1、把下列图形补成以直线a为对称轴的轴对称图形．

例2、如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，若＝6，则△PMN的周长为（ 　　）
A、4　 　　B、5　 　　C、6　 　　D、7

第2题图

例3、23．如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．

例4、如图，在直线上找一点P，使PA+PB最短．
例5、已知点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），那么P关于y轴对称点P"的坐标是________．
O
1
2

1
-1
A
B
C

（1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）；
（2）直接写出三点的坐标：
．
（3）求△ABC的面积是多少？

【相关练习】
1、已知点A（x， －4）与点B（3，y）关于x轴对称，那么x＋y的值为________.
2、在直角坐标系内，已知A、B两点的坐标分别为A（－1，1）、B（3，3），若M为x轴上一点，且MA＋MB最小，则M的坐标是___________.
︰
3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是__________
4、如图,∠BAC=110°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是_________。

第4题图

5、如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点O．
（1）求证:PA=PB=PC．
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你还能得出什么结论?

6、把图中（实线部分）补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，
你会得到一只美丽的蝴蝶图案．
7、如图7，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线
OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，
则线段MN的长是___________．

8、如图，根据要求回答下列问题：
解：（1）点A关于x轴对称点的坐标是_______________；
点B关于y轴对称点的坐标是_______________；
点C关于原点对称点的坐标是_______________；
（2）作出与△ABC关于x轴对称的图形（不要求写作法）

9、先阅读下文，再回答问题：
你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识，如图，四边形
ABCD是一矩形的球桌台面，有两个球位于P，Q两点上，先找出P点关于
CD的对称点P′ ，连接P′Q交CD于M点，则P处的球经CD反弹后，会击中Q处的球。
请回答：如果使P球先碰撞台边CD反弹碰撞台边AB后，再击中Q球，如何撞击呢?（画出图形）

三、等腰三角形
1、了解等腰三角形的性质：①等边对等角，②三线合一，③等角对等边。
2、利用等腰三角形的性质证明。
3、了解等边三角形的性质及判断：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。 第3题
②在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
【例题讲解】
例1、等腰三角形中，有两条边分别是6和8，那么它的周长为_______________。
例2、等腰三角形中，有一个角是70°，那么另外两个角分别是__________________________________。
例3、如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于________________。
例4、△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F。图中有______个等腰三角形,且EF与BE、CF间等量关系是_____________。
例5、如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为___________

第5题

第4题
例6、如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD.

例7、（2007甘肃陇南非课改，8分）如图，在△ABC 中，AB=AC，D是BC边上的一点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE= DF，
并说明理由．
解： 需添加条件是 ．
理由是：

例8、如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，
DF=EF，BD=CE。求证：△ABC是等腰三角形。（过D作DG∥AC交BC于G）

例9、如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点。

例11、如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．
（1）在图1中，交于，交于．
①证明；
②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
（2）继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．

图1

图2

图3

【相关练习】
1、 已知等腰三角形的周长是18，一条边长是4，另外两条边长是______________________。
2、 已知等腰三角形的一个外角是100°，那么等腰三角形的顶角是_____________________。
3、如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是__________。
第6题
B
A
C
D
F
E

第5题

第4题
第3题

4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是___________cm2.
5、如图：在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为___________ ；
6、如图，△ABD、△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=__________。
7、等腰直角三角形的斜边的长为2，则斜边上高线的长为________。
8、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是_____________。
9、△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______。
1
2
D
A
E
C
B
10、已知三角形ABC中，AB=AC，AD∥BC，求证：AD平分∠EAC

11、已知：如图，AB=AC，EB=EC，求证：AD⊥BC，BD=CD

3
A
B
C
D
E
1
2
4
5
6
12、已知∠1＝∠2，∠3＝∠4 ， 求证：①∠5＝∠6 ②AC⊥BD，BE=CE

13、已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AC中点，EC⊥BC，且EC=BD。
求证：⑴△AEC≌△ADB； ⑵AE∥BC； ⑶△ADE是等边三角形

14、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°， CA=CB，CD⊥AB，垂足是D，E是AB上一点，EF⊥AC，垂足是F，G是BC 上一点，CG=EF。
求证：①DF=DG ②DF⊥DG

15、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE．求证：AH＝2BD．

16、如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90o，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF＝FE．求证（1）△ABD≌△ACE；（2）AF⊥DE．

【课前热身】
1.点（-2，1）关于x轴的对称点是 ，关于y轴的对称点是
2.已知点P1（a，3）和点P2（-2，b）关于y轴对称，则a= ，b= ；
若关于x轴对称，则a= ，b=
3.已知点P1（a，3）和点P2（4，b）关于y轴对称，则（a+b）2007=
4.点（3，－2）关于直线x=－2的对称点是 ，关于直线y=1的对称点是
5.点A(－2,1),B（－2,3）关于直线m对称，那么直线m为：____________
6.已知等腰三角形的一个内角是80，则它的另外两个内角是
已知等腰三角形的一个内角是100，则它的另外两个内角是
7.已知等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另外两边的长是
. 已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外两边的长是
8..在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BC=12，∠BAC=80°，
则∠BAD= ， BD= ， CD=
9.在△ABC中，AB=AC，AD为中线，∠B=50°，则∠BAD=
10.已知等腰三角形的底角为15°，腰长为4cm，则这个三角形的面积为
二.选择题
11.下列命题是真命题的是（ ）
A 、等腰三角形的对称轴是底边上的中线；B、等腰三角形两腰上的中线不一定相等 ；
C 、 矩形有4条对称轴； D、有三条对称轴的三角形不一定是等边三角形.
12.在具备下列条件的两个 等腰三角形中，不能判定它们全等的是（ ）
A.、两腰对应相等； B.、一条腰、底边对应相等；
C.、顶角、一条腰对应相等； D.、一底角、底边对应相等
13.下列说法不正确的是（ ）
A.、 周长相等的两个等边三角形全等； B. 面积相等的两个等边三角形全等
C. 、三角形没有稳定性 ； D. 有对称轴的三角形都是等腰三角形
14.到三角形三顶点的距离相等的点在（ ）上
A. 三边的中垂线上； B.三内角的角平分线上； C. 三边的中线上； D.三边的高线上
15.两根木棒的长度分别是5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（ ）
（A）3种． （B）4种． （C）5种． （D）6种．
16.已知△ABC中，AB＝AC，且∠B ＝，则的取值范围是（ ）
（A）≤45o． （B）0o＜＜90o．（C）＝90o． （D）90o＜＜180o．