高考导数题型归纳.doc

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高考压轴题：导数题型及解题方法
（自己总结供参考）

一．切线问题
题型1 求曲线在处的切线方程。
方法：为在处的切线的斜率。

题型2 过点的直线与曲线的相切问题。
方法：设曲线的切点，由求出，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例 已知函数f（x）=x3﹣3x．
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（答案：）
（2）若过点A可作曲线的三条切线，求实数的取值范围、
（提示：设曲线上的切点（）；建立的等式关系。将问题转化为关于的方程有三个不同实数根问题。（答案：的范围是）

练习 1. 已知曲线
（1）求过点（1，-3）与曲线相切的直线方程。答案：（或）
（2）证明：过点（-2,5）与曲线相切的直线有三条。

2.若直线与曲线相切，求的值. （答案：1）

题型3 求两个曲线、的公切线。
方法：设曲线、的切点分别为（）。（）；
建立的等式关系，，；求出，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例 求曲线与曲线的公切线方程。（答案）

练习 1.求曲线与曲线的公切线方程。（答案或）

2．设函数，直线与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于（1,0），求实数的值。（答案或）

二．单调性问题
题型1 求函数的单调区间。
求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。
例 已知函数
（1）求函数的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）
（2）若，求函数的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类）

练习 已知函数，若,求函数的单调区间。（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。
方法1：研究导函数讨论。
方法2：转化为在给定区间上恒成立问题，
方法3：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。
注意：“函数在上是减函数”与“函数的单调减区间是”的区别是前者是后者的子集。
例 已知函数+在上是单调函数，求实数的取值范围．
（答案）

练习 已知函数，且在区间上为增函数．求实数的取值范围。（答案：）

题型3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。
方法1：正难则反，研究在某区间的不单调
方法2:研究导函数是零点问题，再检验。
方法3:直接研究不单调，分情况讨论。
例 设函数，在区间内不单调，求实数的取值范围。
（答案：））

三．极值、最值问题。
题型1 求函数极值、最值。
基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。
例 已知函数，求在的极小值。
（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

练习 已知函数的图象过点，且函数的图象关于y轴对称.若，求函数在区间内的极值.
（答案：当时，有极大值，无极小值；当时，有极小值，无极大值；当或时，无极值.）

题型2 已知函数极值，求系数值或范围。
方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。
方法2.转化为函数单调性问题。

例 函数。0是函数的极值点。求实数值。（答案：1）

练习 已知函数若函数存在极值，且所有极值之和大
，求a的取值范围。（答案：）

题型3 已知最值，求系数值或范围。
方法：1.求直接求最值；2.转化恒成立，求出范围，再检验。
例 设，函数．若函数，在处取得最大值，求的取值范围． （答案：）

练习 已知函数， 当时，函数在区间上的最小值是，求实数的取值范围。（答案：）

四．不等式恒成立（或存在性）问题。
一些方法
1.若函数，＞恒成立，，则
2.对任意，恒成立。则。
3.对，成立。则。
4.对，恒成立。转化恒成立
4. 对，成立。则。
5. 对，成立。则
6. 对，成立。则构造函数。 转化证明在是增函数。

题型1 已知不等式恒成立，求系数范围。
方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。
（2）讨论法: 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。
（3）数形结合：
（4）变更主元
解题思路 1.代特值缩小范围。2. 化简不等式。3.选方法（用讨论法时，或构造新函数）。

方法一：分离法。
求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。
例 函数。在恒成立，求实数取值范围。（方法：分离法，多次求导答案：）

练习 设函数，若当≥0时≥0，求a的取值范围。（方法： 分离法，用罗比达法则答案：）

方法二：讨论法。
有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。
例 设函数f(x)=.若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.
（答案：的取值范围为）

练习 1.设函数 ，时，，求实数的取值范围
（答案：）

2.函数，当对＞0，，求实数取值范围。
（多种方法求解。（答案：）
）

方法三：变更主元
例：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，，若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值. （答案：）

练习 设函数。证明：当＞3时，对任意，成立。
（提示化为），研究的单调性。）

五．函数零点问题
题型1：判断函数零点的个数。
方法：方程法；函数图象法；转化法；存在性定理

例.设．若函数有零点，求的取值范围．
（提示：当时，，，所以成立，答案）

练习.求过点（1,0）作函数图象的切线的个数。（答案：两条）

题型2：已知函数零点，求系数。
方法：图象法(研究函数图象与x轴交点的个数)；方程法；转化法（由函数转化方程，再转化函数，研究函数的单调性。）
例.函数在（1,3）有极值，求实数的取值范围。（答案）

练习：1.证明：函数的图象与函数的图象无公共点。

六．不等式证明问题
方法1：构造函数，研究单调性，最值，得出不等关系，有的涉及不等式放缩。
方法2：讨论法。
方法2.研究两个函数的最值。如证，需证的最小值大于的最大值即可。

方法一：讨论法
例：已知函数，曲线在点处的切线方程为。证明：当，且时，。

练习：.已知函数.当时，.试讨论与的大小关系。

方法二：构造函数
例：已知函数与函数为常数，（1）若图象上一点处的切线方程为：，设是函数的图象上两点，，证明：

练习：1.设函数。证明：当＞3时，对任意，成立。

方法三：构造函数，不等式放缩

例.已知函数
(I)；若m=0，A(a,f(a))、B(b，f(b))是函数f(x)图象上不同的两点.且a>b>0, 为f(x)的导函数，求证：
(II)求证 ：

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