高三理科数学064.doc

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期数 0512 SXG3 064
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇四十八 高三理科数学总复习二十五
——数列及其通项公式

【考试大纲的要求】
　　理解数列的概念，了解数列的通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
【基础知识概要】
1．数列的定义
　　　数列是按一定次序排列的一列数，在函数的意义下，数列定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当变量从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为，…，，…，简记为.其中表示数列的通项.
2．数列的通项公式
一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫这个数列的通项公式.
　　注意：（1）并不是所有的数列都能写出它的通项公式；
　　　（2）同一个数列的通项公式不一定是唯一的；
　　　（3）仅由数列的前几项可以归纳出多种“通项公式”；
　　　（4）对某些数列，通项公式可用分段形式表达，如 ，
　　　　也可合并写成.
3．数列的给出形式
（1）列举法：给出数列的前几项和变化的规律．如：
（2）通项公式：
（3）递推公式：数列中的相邻两项或三项之间的关系叫做递推公式．如：
（4）前n项和：数列的前n项和，记作，明确与的关系如下：
（5）列表和图象法：数列可以看作是用列表法给出的—列函数值；也可以用图形（一些孤立的点）来表示.
4．数列的分类
（1）按照项数是有限还是无限来分：有穷数列，无穷数列．
（2）按照项与项之间的大小关系来分：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列．
（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列，无界数列．

【典型例题解析】
例1数列的通项公式为，则数列的（　　）
A．最大项为，最小项为 B．最大项为，最小项为
C．最大项为，最小项为 D．最大项为，最小项为
解：令，∴为对称轴．
又∵当离最远，故最大；
当离最近，故最小．从而选C．
例2已知数列满足,则（ ）
A．0 B． C． D．
解：∵，∴
∴是周期为3的周期数列，∴．故选B．
例3已知数列满足，求数列的通项公式．
解：由，得．
∴当时，
　　　　　　　　．
当时，也符合题设条件．
∴．
　　评析：形如，则．
例4设数列是首项为1的正项数列，且，求数列的通项公式．
解：由，得，
，∴ ，即，
当时，．
当时，也符合题设条件．
∴．
评析：形如，则
例5（1）已知下列数列的前n项和为，且，求数列的通项公式．
（2）已知下列数列的前n项和为，且，求数列的通项公式．
（3）已知下列数列的前n项和为，且，求数列的通项公式．
解：（1）当n=1时，．
　　　　当时，．
　　　　由于也符合此公式，因此．
　 （2）当时，．
　　　　当时，．
　　　　由于不符合此公式，因此．
　 （3）∵当时，，∴．
　　　　又，∴．
　　　　∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，∴．
　　　　评析：已知前n项和，则．
例6 已知数列的前n项和，
（1）写出该数列的前三项；
（2）判断31是否在该数列中；
（3）确定何时有最小值，最小值是多少？
解：（1）；
，
（2）当时，
令，得，故31是数列中的第24项.
（3），因此，当时，有最小值-56.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．已知数列的通项公式是，则它的前三项是（ ）
A． B．
C． D．
2．数列2，6，12，20，……的一个通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．以上都不是
二、填空题
3．数列，…的一个通项公式是 .
4．数列1，1，2，2，3，3，…的一个通项公式是 .
5．在数列1×3，2×4，3×5，…，n（n＋2），…中，120是第 项.
同步检测[※※级]
一、选择题
1．在数列1，,3，，，……中，是数列的（ ）
A．第11项 B．第12项
C．第13项 D．第10项
2．已知数列的通项公式为，那么0.98（ ）
A．是这个数列的第6项 B．不是这个数列的项
C．是这个数列的第10项 D．是这个数列的第7项
3．已知数列的首项，且，则等于（ ）
A．7 B．5 C．31 D．42
二、填空题
4．已知数列满足，且，则 ， .
5．数列的通项公式是，则是此数列的第 项.
三、解答题
6．已知数列的通项公式为，求证：此数列为递增数列.
7．设函数，数列满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）判断数列的单调性.

参考答案
同步落实[※级]
一、1．D 2．B
二、3．. 4． 5．10

同步检测[※※级]
一、1．B 2．D 3．C
二、4． 2或－3; 1或6. 5．9
三、6．解：∵，
∴，∴数列是递增数列.
7．解：（1）由已知，得，
∴，整理得 ，
∴
（2）∵，且，
∴，∴数列是递增数列.