八年级下册数学《二次根式》.doc

  二次根式及性质
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一、本节学习指导

二、知识要点
.
1、平方根与立方根
（1）、 平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。用表示。
例如：因为，所以25的平方根为：。
（2）、算术平方根的概念：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。0的算术平方根为0。用表示a的算术平方根。
例如：3的平方根为，其中为3的算术平方根。
（3）、立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，用表示。
例如：因为，所以27的立方个跟为：。
（4）、平方根的特征：
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
②0有一个平方根，就是0本身。
③负数没有平方根。
（5）、立方根的特征：
①正数有一个正的立方根。
②负数有一个负的立方根。
③0的立方根为0。
④。
⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0，－1。

2、二次根式
（1）、二次根式的概念：形如（a≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式）。
（2）、 二次根式的基本性质：
①
②
③
④
⑤

（3）、 二次根式的乘除法
①
②

（4）、 最简二次根式的标准：
①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）。
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。

（5）、同类二次根式的识别：
几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。
例如：是同类二次根式，是同类二次根式。

（6）、二次根式的加减法运算法则：
在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算，运算时只有同类二次根式才能合并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不变），合并同类二次根式之后的式子作为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最简）。

（7）、使分母不带根号（分母有理化）常用方法：
①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。
i. 形如的式子，利用，分子、分母同乘以得

ii. 形如的式子利用平方差公式，分子、分母同时乘以得

注意：分子、分母同时所乘以的式子必须不为0。
即如：，这样运算不一定正确，因为有可能为0。
②化去分母中的根号，有时通过约分来解决
如：

（3）、实数与数轴
a. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
b. 实数的概念：有理数与无理数统称为实数。
c. 实数的分类：
①按实数的定义分类

②按正负分类

d. 实数与数轴上的点之间的关系：
实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来每一个实数都可以用数轴上的点来表示。
e. 常见的几种无理数：
①根号型：如等开方开不尽的数。
②构造型：如1.21121112……等无限不循环小数。
③化简后含有（圆周率）的数。
④在今后学习中还会遇到三角函数型等。
f. 实数比较大小的几种常用方法：
①数轴比较法：将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，表示在同一点上的两个数相等。
②差值比较法：设a、b是任意两实数，若，则；若，则a<b；若。
③商值比较法：设a、b是两个正实数
若；
若；
若。
注：除此以外还有平方法等方法。

三、经验之谈：

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