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高等代数课程教学大纲

课程名称：高等代数/ Advanced Algebra
学时/学分165学时/10学分 （其中课内学时165学时，实验上机0学时）
先修课程： 无
适用专业：信息与计算科学
开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院
一、课程的性质与任务
高等代数是信息与计算科学专业的一门专业基础课程。它是中学代数的继续和提高，是后续的专业课程的先修课，是一年级学生的必修课程。其任务是通过本课程的教学，使学生初步熟悉和掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法；理解具体与抽象，特殊与一般、有限与无限、形式和实质等辨证关系；着重培养学生的抽象思维能力；逻辑推理能力和判断能力；熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力。
二、课程的教学内容、基本要求及学时分配
（一）多项式 24学时
1．理解数域P上一元多项式的概念，掌握多项式的运算及多项式的和与积的次数。
2．理解多项式整除的概念，掌握其性质，并能掌握整除与带余除法的关系。
3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质。
4．理解不可约多项式的概念，了解多项式的因式分解定理。
5．理解多项式的微商及重因式的概念，掌握重因式的性质，掌握多项式有无重因式的判别方法。
6．掌握多项式函数及理数域的概念，并了解多项式由形式观点向函数观点的转变。
7．了解代数基本定理，了解复数域、实数域上多项式的因式分解定理。
8．掌握本原多项式的性质及其有理数域上因式分解定理。掌握艾森斯坦因判别法，会求有理系数多项式的有理根。
重点：最大公因式和互素，不可约多项式，因式分解定理和标准分解式，有理数域上的多项式。
难点：两个多项式作为形式多项式的相等和作为多项式函数相等的定义和两者的等价；重因式的判定与分离，有理系数多项式不可约性的判定。
（二）行列式 12学时
1、理解n阶行列式的定义。
2、掌握行列式的性质及行列式按行（列）展开定理，能熟练地计算行列式。
3、掌握Vandermonde行列式，克莱姆法则。
4、了解拉普拉斯定理。
重点：行列式的性质，典型行列式的计算。
难点：计算行列式的计算。
（三）线性方程组 8学时
1．理解消元法与矩阵初等变换的关系，熟练掌握用矩阵的初等变换解线性方程组。
2．理解矩阵的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩。
3．理解线性方程组有解的判别定理、解的个数定理，并会进行应用。熟练掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件。
4．理解齐次线性方程组解的性质，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，能熟练地求出齐次线性方程组的基础解系。
5．掌握齐次线性方程组及非齐次线性方程组解的结构，能熟练地求出其通解。
重点： 消元法， 解的性质及通解。
难点： 基础解系
（四）矩阵 20学时
1．掌握矩阵的运算及其性质，特别是矩阵的乘法运算。
2．掌握可逆矩阵的概念、可逆矩阵的判定及其性质，熟练掌握求逆公式及用初等变换求逆矩阵的方法。
3．了解矩阵乘积的行列式，理解矩阵秩的概念，了解矩阵乘积的秩的结论。
4．理解初等矩阵的概念，熟练掌握矩阵的初等变换与矩阵乘法及初等矩阵的关系。
5．掌握矩阵的等价标准形的概念，能将任意矩阵化为等价标准形，并能用式子正确地、完整地反映两者（一般矩阵与特殊的等价标准形）之间的关系。
6．掌握分块矩阵的概念及其运算法则，并会应用。
重点：矩阵的乘法运算及其性质，矩阵的初等变换，逆矩阵及其求法。
难点：矩阵的初等变换与初等矩阵的关系，四块分块矩阵的块初等变换。
（五）二次型 12学时
1．理解二次型、二次型的矩阵及二次型的秩。
2．理解矩阵合同的概念及其性质，掌握二次型经过非退化线性替换后，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。
3．了解二次型的标准形，掌握二次型化为标准形的方法。
4．掌握复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性，理解惯性定理。
5．理解正定二次型、正定矩阵的概念，熟练掌握正定二次型、正定矩阵的性质及判定。知道半正定二次型和负定二次型的性质和判定。
重点：二次型及对称矩阵的互相关系，二次型化为标准形的方法，惯性定理。
难点：正定性的判定
（六）线性空间 32学时
1．理解集合、映射、双射的定义，掌握双射与可逆映射的关系。
2．理解线性空间的概念及其简单性质，初步知道公理化的思想。
3．理解向量组的线性组合、向量组的等价、线性相关性、极大线性无关组、向量组的秩的概念并掌握其性质。了解矩阵的秩与向量组的秩之间的关系。
4．理解有限维线性空间的基、维数的概念，掌握它的求法，了解它在线性空间理论中所起的重要作用。
5．理解线性空间的子空间及其交、和、直和的概念，熟练掌握子空间、直和的判别方法。熟练掌握求子空间的交与和的基及维数的方法，掌握维数公式
6．理解向量的坐标、过渡矩阵的概念，掌握基变换与坐标变换公式。
7．理解线性空间同构的意义及其性质，熟练掌握有限维空间同构的充要条件。
重点： 线性空间的定义，线性相关性及其理论，子空间及其运算，有限维线性空间的基、维数， 线性空间的同构。
难点：线性相关性及其理论，有限维线性空间的基，维数，子空间的直和，线性空间的同构。
（七）线性变换 26学时
1．理解线性变换的概念，掌握它的运算及其性质。
2．理解线性变换关于基的矩阵表示，掌握线性变换与关于某个固定基的矩阵间的一一对应关系。
3．理解矩阵的相似及线性变换（矩阵）的特征根、特征向量的概念，熟练掌握线性变换（矩阵）的特征根、特征向量的求法。熟练掌握矩阵可以对角化的条件。知道Hamilton-Caylayd定理
4．理解线性变换的值域、核的概念，了解并能应用其有关结论。
5．理解线性变换的不变子空间的概念及其在化简线性变换的矩阵中的作用。
6．了解最小多项式的概念。
重点：线性变换的定义及运算， 线性变换的矩阵及其化简，与线性变换有关的子空间（核、值域、不变子空间），矩阵的相似，特征值与特征向量，对角化。
难点：线性变换的值域与核，线性空间按特征值分解成不变子空间的直和。
（八） 欧氏空间 19学时
1．理解内积、欧氏空间 、向量的长度、两向量夹角、正交等概念，掌握柯西——布涅柯夫斯基不等式。
2．理解标准正交基的概念、性质及作用，掌握Schimidt正交化方法，会求标准正交基。
3．理解欧氏空间同构的概念，掌握欧氏空间同构的充要条件。
4．理解子空间正交的概念及其性质，了解正交补。
5．了解正交变换与正交矩阵的概念、性质及它们间的关系。
6．了解对称变换与对称矩阵的概念、性质及它们间的关系
7．熟练掌握实对称矩阵正交相似与对角阵的方法。
8．掌握用正交线性替换化实二次型为平方和。
9．知道酉空间。
重点：欧氏空间的定义，标准正交基的性质及构造，正交子空间、正交补，正交变换和正交矩阵的对应，对称变换与对称矩阵的对应，实对称矩阵正交相似与对角阵。
难点：正交补及其相关问题。
（九） 矩阵 12学时
1．理解矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵，矩阵的等价，矩阵的标准形，不变因子的概念，了解矩阵可逆的充要条件.
2．熟练掌握矩阵的初等变换，会求矩阵的标准形。
3．理解矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子及它们间的关系。
4．熟练掌握矩阵相似的充要条件。
5．熟练掌握若当标准形及n阶复矩阵的若当标准形的求法。
重点： 行列式因子、不变因子、初等因子
难点： 若当标准形的求法，两矩阵相似的充要条件
三、推荐教材和主要参考书
1．推荐教材：
（1）北京大学数学系几何与代数教研室代数小组：高等代数，高等教育出版社，2003年第3版。
2．推荐参考书：
（1）张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，2003年第4版。
（2）邱维声，高等代数(上、下册)，高等教育出版社，1995年。
（3）邱维声，高等代数学习指导书(上、下册)， 清华大学出版社，2005年。
（4）孟道骥，高等代数与解析几何（上、下册）（第2版），科学出版社，2004年。
（5）王品超，高等代数新方法（上、下册），中国矿业大学出版社，2003年。

大纲制订者： 杨贤仆
大纲审定者：冯天祥