第20讲三角函数与恒等变形基础练习.doc

第20讲 三角函数与恒等变形基础练习
一、选择题
1．【2008年广东文】 5．已知函数，则是
A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
2．【2008年宁夏理】 1．已知函数)
在区间的图像如下：那么
（A）1 （B）2 （C） （D）
3．【2008年宁夏理】 7．
（A） （B） （C）2 （D）
4．【2008年宁夏文】 11．函数的最小值和最大值分别为
A. 3，1 B. 2，2 C. 3， D. 2，
5．【2008年山东理】 3．（文科3）函数的图象是
6．【2008年山东理】5．（文科10）已知，则的值是
A． B． C． D．
7．【2007广东理】3．若函数，则是
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
8．【2007广东文】9．已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为
A． B． C． D．
9．【2007年海南、宁夏理】9．（文科9）若，则的值为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．【2007年海南、宁夏理】 3．（文科3）函数在区间的简图是

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

11．【2007年山东理】 （5）函数的最小正周期和最大值分别为
（A） 　　　（B） 　　　（C） 　　　（D）
12．【2007年山东文】 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向右平移个单位 　　　　　B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 　　　　　D．向左平移个单位
二、填空题
1．【2008年北京理】13．（文科13）已知函数，对于上的任意，有如下条件：
①； ②； ③．
其中能使恒成立的条件序号是 ．
2．【2008年北京文】9．若角的终边经过点，则的值为 ．
3．【2008湖南单招】12．不等式的解集为 ．
4．【2008年辽宁理】 16．已知，且在区间有最小值，无最大值，则__________．
5．【2008年辽宁文】16．设，则函数的最小值为 ．
6．【2008年上海理】6．函数的最大值是　　 　　．
7．【2008上海春招】4．方程在区间内的解是 ．
8．【2008上海春招】6．化简： ．
9．【2008年四川延考理】 （15）已知函数 在单调增
加，在单调减少，则 ．
10．【2008年四川延考文】 14．函数的最大值是____________．
11．【2008年浙江文】（12）若，则_________．
12．【2008年广东理】 12．已知函数则的最小正周期是　　　　　　．
13．【2008年江苏】1．若函数最小正周期为，则　　　．
三、计算题
1．【2008年广东理】 16．（文科16）（本小题满分13分）
已知函数，的最大值是1，其图像经过点．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
【解析】（1）依题意有，则，将点代入得
，而， ，
，故；
（2）依题意有，而，
，
。
2．【2008年江苏】　15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆交于两点．已知两点的横坐标分别是、．
（1）求的值；（2）求的值．
【试题解析】（1）由已知条件即三角函数的定义可知，，
因故，从而．
同理可得 ，因此.
所以=．
（2）．
从而由 得 ．
3．【2008年山东理】　17．（本题满分12分） 已知为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
（I）求的值；（II）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．
【标准答案】:（Ⅰ）
．因为为偶函数，所以对，恒成立，
因此．即

整理得．因为，且，所以．
又因为，故．所以．
由题意得，所以．故．因此．
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．
所以．
当（），即（）时，单调递减，
因此的单调递减区间为（）．
4．【2008年山东文】 17．（本小题满分12分）已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间．
【标准答案】 第（Ⅰ）问同理科17第（Ⅰ）问
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，
所以 ．
当 （），即 （）时，单调递减，
因此的单调递减区间为（）．

三、计算题
1．【2008年安徽理】 （17）．（文科17）（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的值域．
解：（Ⅰ）

∴周期.由，得.
∴ 函数图象的对称轴方程为。
（Ⅱ）
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，取最大值 1。
又 ，∴ 当时，取最小值。
所以函数在区间上的值域为。
2．【2008年北京理】15．（文科15）（本小题共13分）
已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
【标准答案】: （Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，所以，所以，
因此，即的取值范围为．
3．【2008年湖北理】 16．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；
（Ⅱ）求函数的值域．
解：（Ⅰ）

＝
（Ⅱ）由得
在上为减函数，在上为增函数，
又（当），
即 故的值域为
4．【2008年湖北文】 16.（本小题满12分）
已知函数
（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；
（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值。
解：（Ⅰ）．
故的周期为。
（Ⅱ）由,得.
因为在上是减函数，上是增函数。
故当=时，有最小值；而,
所以当时,有最大值。
5．【2008年湖南文】 17．已知函数.
（I）求函数的最小正周期；（II）当且时，求的值。
解：由题设有．
（I）函数的最小正周期是
（II）由得即
因为,所以
从而
于是

6．【2008年江西文】 17．已知，
（1）求的值；
（2）求函数的最大值．
【解析】（1）由得，
所以=.
（2）因为所以
，的最大值为．
7．【2008年全国Ⅱ理】 17．（本小题满分10分）
在中，，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的面积，求的长．
【解析】（Ⅰ）由，得，由，得．
所以．
（Ⅱ）由得，由（Ⅰ）知，
故，又 ，
故 ，．所以．
8．【2008年陕西理】 17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
解：（Ⅰ）．
的最小正周期．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．
函数是偶函数．
9．【2008年陕西文】 17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
解：类理科17（本题（Ⅰ）少了一步化简，其余完全一样）
（Ⅰ）．
的最小正周期．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知． 又，
．
．
函数是偶函数．
10．【2008年上海理】18．（文科18）（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分。
已知函数，直线与函数的图像分别交于两点。
⑴ 当时，求的值；
⑵ 求在时的最大值。
【解析】设，，则由题意，，
⑴ 当时，
⑵ 当时，

∵， ∴当，即时，。
11．【2008上海春招】17．（本题满分12分）
已知，求的值．
【详解】原式． …… 5分
又 ，∴， …… 9分
∴． …… 12分
12．【2008年四川理】 17．（文科17）（本小题满分12分）
求函数的最大值与最小值。
【解】

由于函数在中的最大值为 ，
最小值为 ，
故当时取得最大值，当时取得最小值
【点评】此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；
【突破】利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；
13．【2008年天津理】 （17）（本小题满分12分）
已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
【解】（Ⅰ）解法一：因为，所以，于是
．

．
解法二：由题设，即．
又，，解得或．
因为，所以．
（Ⅱ）因为，故．
．
所以．
14．【2008年天津文】 17．（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
【解析】本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．
【答案】（Ⅰ）

．
由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
当，即时，取得最大值1，
所以函数的最大值是，此时的集合为．