初一数学竞赛系列讲座(13)角的认识.doc

初一数学竞赛系列讲座(13)
角的认识

一、 知识要点
具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。
与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。
二、 例题精讲
例1． 如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线， OD平分ÐAOD，OE在ÐBOC内，ÐBOE＝ÐEOC，ÐDOE＝70°，求ÐEOC的度数。
分析：易得ÐEOC＝ÐBOC，而ÐBOC +ÐAOB＝180°，结合OD平分ÐAOB，可作ÐBOC平分线，结合ÐDOE可求出ÐBOC，从而求ÐEOC的度数
解：作ÐBOC平分线OF，则
ÐBOF＝ÐCOF＝ÐBOC
∵　OD平分ÐAOB
∴　ÐAOD＝ÐDOB＝ÐAOB
又∵　ÐBOC +ÐAOB＝180°
∴　ÐDOB+ÐBOF＝90°　即　ÐDOF＝90°
∴　ÐEOF＝ÐDOF-ÐDOE＝20°
又∵　ÐEOF＝ÐBOF-ÐBOE
而ÐBOF＝ÐBOC，ÐBOE＝ÐBOC
∴ÐEOF＝ÐBOC-ÐBOC＝ÐBOC
∴ÐBOC＝6ÐEOF＝120°
∴ÐEOC＝ÐBOC＝×120°＝80°
即　ÐEOC＝80°

例2． 一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（　　　　）
A．锐角　　B．直角　　C．钝角　　D．不能确定
分析：设该锐角为a，它的余角（90°-a）的补角b应为180°-（90°-a）＝90°+a，b与a的差（90°+a）-a＝90°　　故选B

例3． 已知Ða的余角是Ðb的补角的，Ðb＞110°，求Ða的范围。
分析：显然Ða是锐角，由互余和互补的定义及条件可求出Ða与Ðb的关系，再由Ðb的范围，可求出Ða的范围。
解：Ða的余角为90°-a，Ðb的补角为180°-b
由题意，得90°-a＝（180°-b）
∴　　b＝5a-270°
∵　　Ðb＞110°
∴　　5a-270°＞110° ∴　　a＞76°
又由条件知Ða为锐角　　∴　a＜90°
故Ða的范围是76°＜a＜90°
评注：本例把Ða转化到Ðb进而求出Ða的范围。要把相关概念进解透彻，否则就会忽略a＜90°这一条件。

例4． 当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？
解：时针每小时转1大格，即30°，所以每分针转0.5°，而分针每分转6°，当时针指向整点时，分针指向12点。因此，我们以指向12点作为角的始边，在2点32分时，时针与12点构成的角度是2×30°+32×0.5°＝76°分针与12点构成的角度是32×6°＝192°，从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192°-76°＝116°
评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于180°时，则需用360°减去这个角，例如：2点50分时，按上述方法求得的角是50×6°-(2×30°+50×0.5°)
=300°-85°=215°＞180°
则时针与分针的夹角为360°-215°＝145°
（2）对于确定的时间，例如x点y分时，试写出用x、y表示时针与分针的夹角的表达式。

例5． 如图射线OA表示北偏东60°，射线OB表示东南方向，∠BOC是∠AOB的余角，射线OD是射线OC的反向延长线，写出射线OD所表示的方向。
解：∠AOB=30°+45°=75°
∠AOB的余角∠BOC=90°-75°=15°
∴OC表示南偏东30°，OC的反向延长线OD所表示方向是北偏西30°
评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线OC就有在∠AOB外部和内部两种不同位置，求OD的方向也就需要分两种情况求解。

例6． 如图，OA1，OA2，…，OA10是以O为端点的十条射线，∠A1OA10＜90°，则图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个？
解法一：以O为端点，以十条射线OA1，OA2，…，OA10的任意两条为边组成的角，取决于从十条射线OA1，OA2，…，OA10中选出两条配成的对数。
共有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45对，
所以图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有45个。
评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数。
解法二：也可化为数线段的问题。如图作一直线，分别交OA1，OA2，…，OA10于A1，A2，…，A10，则每一个角对应于A1 A10上的某一条线段。反过来，A1 A10上的每一条线段又对应于某一个角，如∠A4OA6，它对应线段A4A6，而线段A4A6恰好对应线段于∠A4OA6，因此，要数图中角的个数，只要数A1 A10上的线段数即可，
而A1 A10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45条
因此，图中共有45个角

例7． 求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。
证明：如图，AB、CD相交于O，则ÐAOC与ÐBOD成对顶角。设OE、OF分别为ÐAOC、ÐBOD的平分线，
∵ ÐAOE=ÐAOC ÐBOF=ÐBOD
且 ÐAOC=ÐBOD
∴ ÐAOE=ÐBOF
又∵ ÐBOF+ÐFOD+ÐDOA=180°
∴ ÐAOE+ÐFOD+ÐDOA=180°
即 ÐEOF=180°
∴ OE、OF在同一直线上。
评注：与对顶角有关的问题比较多，解这类题时，主要运用对顶角的定义来解题

例8． 已知：直角ÐAOB，以点O为端点在ÐAOB的内部画出1995条射线，以OA、OB及这些射线为边的锐角的个数是多少？
解：设以O为端点在ÐAOB的内部画出的1995条射线逆时针方向分别为射线OP1，OP2，OP3…，OP1995
则以OA为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP1，OP2，OP3…，OP1995）
以OP1为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP2，OP3，…，OP1995，OB）
以OP2为始边，逆时针方向旋转，形成1994个锐角（终边分别为射线OP3，OP4，…，OP1995，OB）
……
以OP1995为始边，逆时针方向旋转，形成1个锐角（终边为射线OB）
∴　共有1995+1995+1994+1993+…+2+1＝1993005（个）
三、 巩固练习
选择题
1、两个角的补角互余，则这两个角的和的大小是
A.180° B.135° C. 270° D.90°
2、如图，OM是ÐAOB的平分线，射线OC在ÐBOM内部，ON是ÐBOC的平分线，已知ÐAOC＝80°，则ÐMON为　（　　　）
A．30°　B．40°　C．45°　　D．50°
3、已知一个直角∠以为端点在∠的内部画10条射线，以以及这些射线为边构成的锐角的个数是（ ）个。
（A）110 （B）132 （C）66 （D）65
4、O是直线AB上的一点，ÐAOD＝120°，CO^AB于O ，OE是ÐBOD的平分线，则图中彼此互补的角共有（　　）
A．4对　　B．5对　　C．6对　　D．7对
5、一张长方形的纸如图将角折起到处，作∠EFB的平分线，则∠的大小是（ ）
（A）锐角 （B）直角 （C）钝角 （D）无法确定
6、当时间是3点40分时，时针与分针的夹角度数是（　　）
A．110°　　B．130°　　C．120°　　D．150° 第5题
填空题
7．已知角a的补角等于角a的3.5倍，则角a等于＿＿度。
8．如图，是一条直线，，OB、OD分别是角平分线则图中的钝角共有＿＿个。
9．不相等的两角和的两边分别平行，其中角比角的3倍少20，则的大小是＿＿＿。 第8题
10、船停在海面上，从船上看，灯塔的方向在北偏东30°，那么，从灯塔看，船的方向在
。
11、O为平面上一点，过O在这个平面上引2001条不同的直线l1，l2，l3，…，12001，则可形成 对以O为顶点的对顶角。
12、图中三角形的个数是　　　　　。
解答题
13、一个角的余角的2倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数。 (第12题)
14、如图所示的五角星形中
共可数出多少个三角形。

15、ABC是锐角三角形，D、E、F分别为BC、AC、AB上的点，连DE、EF、DF，图中大于0°小于180°的角有多少个？

第15 题
16、如图，求ÐA+ÐB+ÐC+ÐD+ÐE+ÐF的值。
17、如图，BE、DE是ÐABC、ÐADC的角平分线
求证：ÐE=(ÐA+ÐC)
18、某人下午6点多钟外出买东西，看表上的时针与分针的夹角是110°，近7点钟返回时，发现时针与分针的夹角又是110°，则此人外出共用了多少时间？
19、证明：一个锐角一半的余角的2倍，减去这个锐角2倍角的补角，仍等于原角。
20、已知ÐAOB是120°，以O为端点在OA与OB之间作射线使它们与OA、OB之间形成的角的度数均是整数，最多可得到多少个角？多少不同的的度数？