高三理科数学015.doc

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期数 0509 SXG3 015
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

预 习 篇
[同步教学信息]

预习篇十一 函数的连续性

【教材阅读提示】
1．了解连续的意义，掌握函数在某一处连续，以及函数在某一区间上连续的定义.
2．能够借助函数图象直观地理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
3．理解函数f(x)在处连续的定义时应注意以下几点：
（1）在处有定义，即存在；
（2）存在，这里隐含着f(x)在点附近有定义；
（3）f(x)在点处的极限值等于这一点的函数值，即.

【基础知识精讲】
一、知识结构

二、重要内容提示
（1）函数f(x)在点处连续
如果函数y=f(x)在点处及其附近有定义，而且, 就说函数f(x)在点处连续.
（2）函数f(x)在区间上的连续性
若函数f(x)在某一区间(a, b)内每一点处都连续，就说函数f(x)在开区间(a, b)内连续，或说f(x)是开区间(a, b)内的连续函数.
对于闭区间[a,b]上的函数f(x)，如果f(x)在开区间(a,b)内连续，在左端点x=a处有，在右端点x=b处有，就说函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，或说f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数.
2．闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)的图象是一条连续曲线，因此它具有：
性质1 （最大值最小值定理）如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值.
性质2 若f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，且，则方程在区间(a,b)上至少有一个实数解.
注意：1．连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值不一定落在端点处.
2．由连续函数的定义，我们可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f(x)在其定义区间内是连续的，点是定义区间内的一点，那么求时函数f(x)的极限，只要求出f(x)在点处的函数值就可以了，即.
【典型例题解析】
例1 指出下列函数的不连续点：
①；
②；
③
解：①由得，所以函数的不连续点为x=1和x=2.
②当时，tanx=0；当时，tanx不存在.
∴函数的不连续点为.
③f(x)的定义域为.
∵，
∴不存在，∴f(x)在x=1处不连续.
例2 讨论函数
的连续性.
解：函数的定义域为，由初等函数的连续知，在非分界点处函数是连续点，又
，
∴，
∴f(x)在x=1处连续，由于，
∴不存在，从而f(x)在x=－1处不连续，
∴f(x)在上连续, x=－1为函数的不连续点.
例3 设函数
（1）求一个函数g(x)，使f(x)在点x=－1, x=1处连续；
（2）函数f(x)在点x=－3, x= 4处连续吗？若不连续，怎样改动f(x)的表达式，可使它在点x=－3, x= 4处连续.
解：（1），.
若使f(x)在x=－1处连续，必有
，
，
.
若使f(x)在x=1处连续，要求.
①
∴g(x)=x, x=1或－1.
注意：g(x)在这里并不唯一，例如取，也要以使函数f(x)在x=－1，x=1处连续，只要满足①式条件的任何函数都可以.
（2），
∵，
∴函数f(x)在x=－3处不连续，改动x＜－3时的表达式使其变为x+2;
, ,
∵,
∴函数在x=4处不连续，改动1≤x＜4的表达式，使其变为，所以若使函数f(x)在x=－3, x=4处连续，函数f(x)的表达式为：

注意：①上述变动，只是保证f(x)在x=－3, x= 4处连续，与x=－1，x=1是否连续无关.
②改变f(x)的表达式并不唯一，同学们可以自己构造一个表达式.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．“函数f(x)在点处有定义且极限存在”是“f(x)在点处连续”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设函数f(x)在处无定义，则下面命题不正确的是（ ）
A．f(x)在处不连续 B．f(x)在处不可能左连续
C．f(x)在处不可能右连续 D．一定不存在
3．定义f(0)，使函数在x=0处连续，则f(0)=（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
4．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)在点x=0处不连续，在点x=1处连续
B．f(x)在点x=0处连续，在点x=1处不连续
C．f(x)在点x=0和x=1处不连续
D．f(x)在点x=0和x=1处都连续
二、填空题
5．设函数在闭区间[0，2]上连续，则a=______.
6．函数(k为常数)，在x=0处连续的充要条件是_________.

同步检测[※※级]
一、选择题
1．函数的不连续点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．9 D．10
2．下列函数在给定点处连续的是（ ）
A．点x=1
B．,点x=0
C．点x=1
D．,点x=3
3．已知函数则下列结论不正确的是（ ）
A．f(x)在点x=1处左连续 B．f(x)在点x=0处不连续
C．f(x)在点x=－1处右连续 D．f(x)在点x=1处右连续
4．函数的不连续点是（ ）
A．x=2 B．x=－2 C．x=2和x=－2 D．x= 4
二、填空题
5．函数的连续区间是_________.
6．有以下五个命题：
①在[0，1]上连续；
②若f(x)是(a,b)内的连续函数，则f(x)在(a,b)内有最大值和最小值；
③；
④；
⑤若则.
其中正确命题的序号是________（请把你认为正确的命题的序号都填上）.
三、解答题
7．如图所示，图形E是由高为1底为1的等腰三角形及底为1高分别为2及3的两个矩形构
成的. 函数是图形E介于平行线y=0及Y= y之间的那一部分；而函数
是用平行线Y= y去截图形所得截痕之长. 求函数s及b的解析式，作
出它们的图形并研究其连续性.

参考答案
同步落实[※级]
一、1．B 2．D 3．C 4．B
二、5．2 6．k =1
同步检测[※※级]
一、1．D 2．C 3．D 4．C
二、5． 6．④
三、7．解：处处连续，
如图①所示.
对于函数b=b(y)，根据条件，解析式如下：

y=2及y=3为不连续的点，如图②所示.