高三文科数学008.doc

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期数： 0509 SXG3 008
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

[同步教学信息]
复 习 篇

高三文科数学复习篇二
---------导数
【命题趋势走向】
导数的概念与运算法则是高等数学基础学科微分学的主体内容.导数是以极限理论为先导，在代数法、解析法与几何法紧密结合与发展起来的研究变化的量和变化的图形的近代数学的重要分支，属于高中数学的选修内容.
导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等内容在高等数学的继续学习中同样占有比较重要的地位.近几年来的高考都出现了有关导数的试题，考题的特点如下：（1）从内容上看，主要是导数的应用；（2）从难度上看，主要以中低挡题为主；（3）从考题形式上看，大题小题均可出现.
概念
法则
应用
几何意义
切线斜率
单调区间
极值、最值
瞬时速度
实际问题
导数
【单元知识纲要】

【应用举例】
例1 求下列函数的导数：

分析：运用求导的基本法则与公式计算即可.若函数能化简，可先化简后再求导，使过程简捷.若是多项的乘积的形式，可先求积，再求导.
解：

∴
★点拔解疑
求导运算有多种方法，包括应用定义法，公式法，化简变形求导，应视题目结构特征灵活运用.
例2 已知抛物线过(1,1)点，且在点(2,－1)处与直线y=x－3相切，求a,b,c值.
分析：题中涉及三个未知数，已知有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a,b,c的值.
解：∵过(1,1)点，
∴a+b+c=1. ①
又∵，
∴，
∴4a+b=1. ②
又曲线过(2,－1)点，
∴4a+2b+c=－1. ③
将①、②、③联立，解得a=3，b=－11，c=9.
★点拔解疑
常见的错误是没有（或不注意）运用点(2,－1)在抛物线上这一条件，或者是求出过点(2,－1)这点的切线方程，然后再由两直线重合产生一个方程，忽略点在曲线上这一条件.
例3 确定函数的单调区间和极值.
分析：按照函数增减性的判别法，函数极值的判别法的步骤求解.
解：∵，
令，得极值点（或驻点）为.
当时，，当时，.
∴；
当时，，当时，.
∴.
函数的单调增区间为和，单调减区间为(－2,2).
★点拔解疑
（1）求函数单调区间的一般步骤：
①确定函数的定义域(a,b)；
②求导数；
③令=0，解出它在(a,b)内的一切实数根；
④以将区间(a,b)分为n+1个小区间；
⑤根据在每一个小区间内的符号，确定f(x)在该小区间内的增减性，从而得到函数y=f(x)在整个区间内的增减情况.
（2）求函数极值的一般方法：
①确定函数f(x)的定义域(a,b)；
②求导数；
③令=0,求出f(x)的所有驻点；
④检查依次过各驻点处符号的变化情况，从而得到函数f(x)在整个区间(a,b)内的极值.
例4 求函数在[－1，3]上的最大值和最小值.
解：，
令，得，
∵，f(0)=2，f(2)=16－8×4+2=－14.
∴最大值为2，最小值为－14.
★点拔解疑
（1）求可导函数f(x)在[a,b]上最大值和最小值的一般方法有：
①求导函数；
②令=0，求出f(x)的一切驻点；
③计算在f(a)与f(b)的值，其中最大者就是函数f(x)在[a,b]上的最大值，最小者就是最小值.
（2）在求可导函数的最大值与最小值的过程中，当得出极值点后，无须再检验它是否是极值点，而直接将极值点与端点处的函数值进行比较，这是与求可导函数的极值有所区别的.
例5 某工厂生产某种产品，年产量为x百台，总成本为C(万元)，其中固定成本为2万元.每生产1百台该种产品，可使成本增加1万元.据统计，市场上每年可销售此种商品4百台，其销售总收入R（万元）是x的函数，且

问每年生产多少台该种产品，总利润L=R－C最大？
解：由题意可知，总成本C和总利润L都是产量x的函数.

首先求L(x)的导数.
在区间(0,4)内，，在区间内，，
令=0，得x=3，
比较L(0)=－2，L(3)=2.5，L(4)=2,
而当x＞4时，L=L(x)=6－x＜2，
∴该工厂每年生产3百台时，总利润最大，最大值为2.5万元.