北师大九年级上数学典型题例.doc

九年级上期北师大版数学典型例题选集
一、 三角形内切矩形问题
A
B
C
E
D
F
H
G
I
如图：△ABC内的有一个矩形DEGF。D点在AB上，E点在AC上，
F点和G点在BC上，AH是BC边上的高。AH交DE于点I。
（1）如果BC=a，AH=h，DE=x，EG=y。写出a、h、x、y之间的关系
（2）如果BC=20，AH=24，矩形DEGF的面积是30。求矩形的长和
宽各是多少？
（3）如果BC=20，AH=24，四边形DEGF是正方形，
求这个正方形的边长。
（4）如果BC=20，AH=24，矩形DEGH的面积为S，DE=x，
写出S和x之间的函数关系，并判断当DE等于多少时矩形DEGF
此题包含了以下知识：
1、 相似（列比例式）
2、 分式的计算（整理比例式）
3、 一元二次方程
4、 配方法求极值。
其中相似是基础，分式的计算是关键，难点是函数思想。提高是用配方法来求函数的极值。

题目点评：数形结合
的面积最大？

二、矩形的对折问题 (关键是打直角三角形，用勾股定理)
A
D
C
B
E
F
（1）已知四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将AD沿AE对折，点D正好落在BC边点F上。求：① CE的长 ② DE的长 ③ 折痕AE的长
④ △CFE的面积

A
E
B
C
D
F
（2）已知四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将AB沿AE对折，点B正好落在对角线AC边点F上。求：① CE的长 ② BE的长
③ 折痕AE的长 ④ △CFE的面积

A
F
E
B
C
D
P
（3）已知四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将BC沿BD对折，
点C正好落在E点F上。PF是△BDF边BD上的高。
求：① EF的长 ② DF的长
③ PF的长 ④ △BDF的面积。

G
A
F
E
B
C
D
P

（4）已知四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将BD对折，
点B正好落在点D上,A点落在E点上。求：
① EF的长 ② BE的长 ③ 折痕FG的长
④ 四边形BGDF是什么图形? (注意体会与上图的联系)

三、商品的涨跌与销售问题
例题：新华商场销售某种冰箱。每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多卖4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
分析：
（1） 每台冰箱赚多少元？[现定价（不是2900元）—成本]
（2） 每台冰箱降多少元？(2900—现价)
（3） 降价后现在售出多少台？(8台+增加的台数)
（4） 怎样列出方程？1台赚的钱×卖出台数=8000元
（5） 怎样设计算最简便（可设现定价，也可设降价）
（6） 选哪种方法解方程最简单（配方法）
（7） 方程的根要检验是否合题意。

(a+4，4)
(0，a)
(a，0)
A
B
C
y
x
o

四、动点变化与方程（或函数）问题
（1）坐标轴内的动点问题
如图：直角坐标内有三点A（a,0），B（0，a），
C（a+4，2），且三角形ABC 的面积为24。求a的值。

P
Q
A
B
C
D
（2）图形中的动点问题（关键是用含用未知数的代数式表示相关线段）
如图：矩形ABCD中AB=12cm，BC=20cm。
AD边上有一动点，从A到D，每秒移动2cm，
BC边上有一动点，从C到B，每秒移动3cm。
（1） 几秒时PO距离为10cm？
（2） 几秒时梯形ABQP的面积为100cm2 ？
（3） 几秒时，梯形ABQP的面积等于梯
形CQPD的面积？

这类题，如果用方程求出x的值，然后再代入求值，计算难度相当大，往往计算出错。最好的办法采取整体代入法。代入一个式子来计算。如①题代入
②题代入
③题代入
小结：整体代入法

五、求代数式的值问题
（1）根据已知条件求代数式的值
①已知：的一个根为，
求的值。

②已知：，求的值。

③已知：，求：的值。
（2）用配方法求代数式的极值（最大值与最小值）
配方法求二次三项式的极值：
关键看二次项和一次项。
配一次项系数一半的平方，注意加上一次项系数一半的平方后立即在常数项中减下来，这样才不会改变代数式的结果。
① 说明不论x取何实数，代数式的值
总大于3。

②说明不论x取何实数，代数式的
值总大于—。

③说明不论x取何实数，代数式的值总小于20。

A
B
C
D
E
六、投影与三角形问题
（1） 平行投影 (关键是相似(直角)三角形的运用 )
①如图AB和CD两根木杆竖立立在地面上，同一时刻在
阳光下AB的影子如图所示，作出CD的影子DF。
② 同时量得DE=3.2m，CD=1m，CD的影子长80cm
A
P
B
C
D
Q
E
求AB的高度。

（2） 中心投影 （找出图中的相似三角形列出比例式求解）
如图：AB和CD是两根相距4米的同样高的标杆，
在灯光P下的影子。已知AB的影子BE长6米。
求灯P的垂直高度PQ。

七、三类函数综合问题（正比例函数、一次函数、反比例函数）
1、 如图，正比例函数 (k>0)与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，求△ABC面积S。

2、正比例函数与反比例函数的图象相交于点P（a,b），a,b异号且OP=5，过P作x轴的垂线PQ交x轴于Q，且S△PQO=6（如图）求这两个函数的解析式。

3、D为反比例函数：图象上一点.过D作DC⊥y轴于C, DE⊥x轴于E,一次函数与的图象都过C点,与x轴分别交于A、B两点。若梯形DCAE的面积为4，求k的值.

O
y
x
A
B

4、已知反比例函数与一次函数y=-x+2的图象交于
A、B两点， 求：(1)A、B两点的坐标；(2)△AOB的面积。

M(2,m)
N (－1,－4)
x
y
5、如图所示，一次函数的图像与反比例函数
的图像交于M、N两点。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图像写出使反比例函数的值大于
一次函数的值的x的取值范围

6、如图，已知反比例函数的图象经过点A
，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为。
(1) 求k和m的值；
(2) 若一次函数的图象经过点A，并且与x轴相
(3) 交于点C，求∠ACO的度数和的值。

小结：
（1） 对称
反比例函数关于原点对称，反比例函数与正比例函数的交点也关于原点对称。
（2） 代入
一点代入法：正、反比例函数只代入一点就可以求出解析式；
两点代入法：一次函数需要代入两点才可以求出解析式。
（3） 求k值
反比例函数的；正比例函数的（注意符号与象限）；一次函数可平移成正比例函数来求k值。
（4） 函数与方程组
求两个函数的交点，就是解这两个函数组成的方程组。
（5） 函数与面积
图象中关键点的横坐标和纵坐标就是图形的高。注意：反比例函数的K值就是矩形面积。不好直接求的三角形可分成几个小三角形来求解。

八、韦达定理和根的判别式
1、方程 的两个根分别为 和 ,求：
① ② ③ ④
⑤ | |= ⑥ ⑦ ⑧

2、 已知方程 的一个根是 – 1，求 另一根与K的值。

3、已知a、b、c为三角形三边长，且方程有两个相等的实数根.
试判断此三角形形状，说明理由.

4、若一元二次方程 的两根之比为2：3，那么a、b、c间有怎样的关系?
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九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页