点的轨迹的探求(圆锥曲线复习课4).doc

一．课题：点的轨迹的探求(圆锥曲线复习课4)
二．教学目标：使学生明确探求点的轨迹的思维出发点，初步理清解决这类问题的思路，能够准确地把握这类问题.
三．教学重、难点：理清点的轨迹问题的思路.
四．教学过程：
（一）引入：求曲线的方程、通过方程研究曲线是解析几何的两大主要内容。前面我们已经简单地接触到了一些求点的轨迹的问题，今天我们将对这个问题进行更加深入的研究.
（二）问题分析：
问题1．如图，是定圆内的一个定点，是圆上的动点，考察线段的垂直平分线与半径的交点的轨迹.
【分析】：注意到是垂直平分线，∴，
∴（是圆的半径），是定值，
又∵点在圆内，∴，
∴点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆。
若要进一步求轨迹方程，
则以中点为原点，所在直线为轴
建立坐标系，设，，∴，
所以，点的轨迹方程为．
说明：本题所用的求轨迹的方法即为“定义法”.

问题2．探求点的轨迹。（学生猜想，几何画板演示）
【解法1】：∵，是定值，∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因此，点轨迹方程是．
【解法2】：点的运动是由点引起的，点是控制点运动的主动点。而点在已知圆上运动，其方程是已知的。如果能够找出点与点的坐标之间的关系，然后再求出点的轨迹方程就不难了。设点，，则，，
又∵点的坐标满足圆的方程，∴，
∴点的轨迹方程是．
问题3．将“是中点”改为“是线段的三等分点”，再探求点的轨迹.
【解法1】：过作的平行线，交于，则，当在上的位置确定后，是定值，∴就是定值。因此，点轨迹是以为圆心，半径为的圆。
【解法2】：设，，∵分的比为，∵，
∴，
又∵点坐标满足圆的方程，
∴有，即
表示以为圆心，半径为的圆。

拓展：若是线段上的任意一点呢？
【解法1】：与“问题3”类似。
【解法2】：设，，及分的比为，
∵，∴，
又∵点坐标满足圆的方程，
∴有，
即表示圆心为，半径为的圆。

问题4．线段上所有点的轨迹可组成什么样的图形？
（先由学生猜测，再借助于动画演示验证结论，即为已知圆面）

〖练习〗：探求线段中点的轨迹，并求出方程。
【解法1】：设，，又∵，，
由点坐标满足方程，
即．
【解法2】：∵，∴，
∵，∴，是定值，
所以，点轨迹是以为焦点的椭圆。

〖思考〗：问题1中，如果将点拖到圆的外面，此时线段与中垂线没有交点，如果设延长线交中垂线于点，这时，的轨迹又怎样？
（答案：是一组双曲线）

小结：通过这节课的几个轨迹的探求，我们可以体会到探求点的轨迹问题的出发点是找出约束动点变动的几何条件或者找出影响动点变动的因素。抓住这两点，就抓住了问题的本质。
点的轨迹的探求