复习圆应该把握的几个问题.doc

复习圆，需要把握的几个问题
上海 孙老师

1、半圆形的周长与半圆的弧长，不是同一个概念
先从一个常见的题目说起.
半径是的半圆的周长为………………（ ）
A、 B、 C、 D、
最后的答案，可能聚焦在A、C两个选项上.有些学生（或老师）可能将答案确定为C.理由是选项A忽视了半圆的直径.
事实上，正确答案，应该是A.
因为圆心为、半径为的圆，可以看作是所有到定点的距离等于定长的点组成的图形；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
由此可见：半圆的周长，其实就是半圆的弧长.
半圆与直径所围成的半圆形的周长，是半圆的弧长加上一个直径的长.
2、圆心在不在圆上？
仔细阅读下面两位同学的对话，然后再翻阅课本，给出你自己的解答.
小明：圆心在不在圆上？圆心当然在圆上.不然为什么叫圆心而不称为圆的中心！
小亮：圆心不在圆上.因为“在一个平面内，线段绕它的一个固定的一个端点旋转一周，另一个端点所组成的图形叫做圆”.圆心不属于另一个端点所围成的图形，所以圆心不在圆上.
3、灵活掌握垂径定理以及相关命题
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
图1中的直径，有这样几个特点：
（1）过圆心（即直径），（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的劣弧，（5）平分弦所对的优弧.
事实上，在这五点之中，任取两点作为命题的题设，其余三点作为命题的结论，都可以组成一个命题，这样，共可以组成10个命题.
垂径定理所描述的命题，其实就可以理解为： .
图1
类似地，依据，我们可以构造出命题2：平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
需要引起注意的是：命题2是一个假命题.同一个圆中的任意两条直径所组成的图形，皆可以成为说明命题2为假命题的事例.
由此，命题2可以改造为：平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
依据，我们可以构造出命题3：弦的垂直平分线过圆心，且平分弦所对的两条弧.这是一个真命题，可以用来确定一条弧所在圆的圆心位置.
其他命题以及真假，请同学们自主完成.
4、学会使用圆的对称性研究问题
例题1.如图2，已知⊙与轴相切于坐标原点，点是⊙ 与轴的交点，点,连结交⊙P 于点,连结并延长交轴于点．
(1) 求线段的长；
(2) 求直线的函数解析式；
(3) 当点在轴上移动时，是否存在点，使相似于? 若存在，求出符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
图2
解：（1）由题意得：，，，在中， ，∴，∴.
（2）过点作轴于，则利用相似三角形可求，，，从而可求得直线的函数解析式：.
（3）在轴上存在点，使与相似.
，∴若与相似，则，∴，.
由，可得.
根据对称性，可得.
因此，符合条件的点有两个，其坐标分别为.
5、体会分类讨论的数学思想方法
从点与圆的位置关系（点在圆外、点在圆上、点在圆内），直线与圆的位置关系（直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离），圆与圆的位置关系（两圆外离、外切、相交、内切、内含），到圆周角定理的证明（圆心在圆周角的一条边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部），三角形与其外心的位置等知识点，处处渗透着分类讨论的数学思想.
因此，学习本章，一定要结合具体问题，领会分类讨论的数学思想.
例2.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为（ ）.
A、16cm或6cm Ｂ、3cm或8cm 　 C、3cm 　　　Ｄ、8cm
例3.如果直线上一点与⊙O的圆心O的距离大于⊙O的半径，那么这条直线与⊙O的位置关系是（ ）．
A、相交 B、相切 C、相离 　 Ｄ、相交、相切、相离都有可能．
例4.⊙O1与⊙O2的圆心距为5，⊙O1的半径为3，若两圆相切，则⊙O2的半径为 ．
例5．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是（ ）.
　 A、40° Ｂ、140°或40°　 C、20° 　　Ｄ、20°或160°
例6．在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm，另一条弦长为8cm，则两条平行弦之间的距离为_________.
6、结合同圆或等圆中的弧、弦、弦心距，圆周角与圆心角，正多边形与圆等知识，感受联系、体验划归等数学思想方法
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
其中，渗透着同圆或等圆中的圆心角、弧、弦之间的联系与转化.
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
其中，渗透着同圆或等圆中的圆周角与圆心角、弧之间的联系与转化.
在正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念中，处处渗透着正多边形与其外接圆之间的联系.在解决与正多边形有关的计算时，我们则时常将其划归到半径、半弦、弦心距所围成的直角三角形中，借助解直角三角形解决问题.
事实上，在解决弧长、扇形、弓形中，有关周长、面积等计算问题时，也处处渗透着与圆周长、圆面积及其某些基本图形之间的联系.
7、突出切线的判定、性质以及两圆的相切问题
除正确理解上述问题外，复习圆的时候，还需要抓住重点内容，突出切线的判定、性质以及两圆的相切问题.（另文叙述）.

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