第十六届全国中学生物理竞赛复赛题(含答案）.doc

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第十六届全国中学生物理竞赛
复 赛 试 卷
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分

全卷共六题，满分为140分。
一、（20分）一汽缸的初始体积为，其中盛有2摩尔的空气和少量的水（水的体积可忽略）。平衡时气体的总压强是3.0大气压，经作等温膨胀使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压。若让其继续等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时：
1、汽缸中气体的温度；
2、汽缸中水蒸汽的摩尔数；
3、汽缸中气体的总压强。
假定空气和水蒸气均可当作理想气体处理。

二、（25分）两个焦距分别是和的薄透镜和相距为d，被共轴地安装在光具座上。
1、若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？
2、根据所得结果，分别画出各种可能情况下的光路示意图。

三、（25分）用直径1 mm的超导体材料制成的导线做成一个半径为5 cm的圆环。圆环处于超导状态，环内电流为100A。经过一年，经检测发现，环内电流的变化量小于A。试估算该超导体材料电阻率数量级的上限。
提示：半径为r的圆环中通以电流I后，圆环中心的磁感强度为B = ，式中B、I、r各量均用国际单位，= 4π×N·。

四、（20分）经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。
现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。
1、试计算该双星系统的运动周期。
2、若实验上观测到的运动周期为，且∶= 1∶，（N ＞1）。为了解释和的不同，目前由一中流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

五、（25分）六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图复16 –5 - 1所示。现有五个这样的相同的电阻环，分别称为、、…、。
现将的1、3、5三点分别与的2、4、6三点用导线连接，如图复16 –5 - 2所示。然后将的1、3、5三点分别与的2、4、6三点用导线连接，……依此类推，最后将的1、3、5三点分别连接到的2、4、6三点上。

1、 证明全部接好后，在上的1、3两点间的等效电阻为。
2、 求全部接好后，在上的1、3两点间的等效电阻。

六、（25分）如图复16 – 6所示，z轴竖直向上，xy平面是一绝缘的、固定的刚性平面。在A（，0，0）处放一带电量为 –q（q ＞0）的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端B穿过位于坐标原点O的光滑小孔，可以通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直于x轴，与z轴的夹角为θ。设小物块和绝缘平面间的摩擦系数μ= tanθ，且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来牵引小物块，使之移动。在牵引过程中，我们约定：细线的B端只准沿z轴向下缓慢移动，不得沿z轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可以近似认为小物块处在力平衡状态。若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。
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第十六届全国物理竞赛复赛试题解答

一、1．只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸汽的压强之和。
= + = 3.0大气压 （1）
第一次膨胀后
= 2.0大气压 （2）
由于第一膨胀是等温过程，所以
= = 2 （3）
解（1）、（2）、（3）得 = 1.0大气压 （4）
= 2.0大气压 （5）
= 1.0大气压 （6）
由于=1.0大气压，可知汽缸中气体的温度
（7）
根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。
2．设水蒸汽为摩尔。经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为，这时对于水蒸气和空气分别有
= R （8）
= R = 2 R （9）
同此二式及（5）、（6）式可得
= 2摩尔 （10）
3．在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有
= （11）
由题意知，再将（2）式代入，得
大气压 （12）
评分标准 本题20分。第1问、正确求得（7）式占9分；第2问、正确求得（10）式占7分；第3问、正确求得（12）式占有4分。

二、1．在图复解16 – 2 - 1所示的光路图中，入射光AB经透镜折射后沿BC射向，经折射后沿CD出射。AB、BC、CD与透镜主轴的交点分别为P、和，如果P为物点，因由P沿主轴射的光线方向不变，由透镜性质可知，为P经过所成的像，为经所成的像，因而图中所示的、、、之间有下列关系：

当入射光线PB与出射光线平行时，图中的，利用相似三角形关系可求得

从而求得 （4）
联立方程式（1）、（2）、（3）、（4），消去、、，可得
（5）
具体运算过程如下；
由（1）式可得 （a）
由（2）式可得 （b）
由（4）式可得 （d）
由（a）、（b）、（d）式可得
以上式代入（3）式可得 （c）
以（c）式代入（1）式得 （5）
由于d 、、均已给定，所以为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在的左方与相距处。又由于与α无关，凡是通过该点射向的入射光线都和对应的出射光线相互平行。

2．由所得结果（5）式可以看出，当d ＞时，＞0，此情况下的光路图就是图复解16 – 2 – 1 所示。
当d = 时，→∞，α= 0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复解16 – 2 – 2所示。
当d ＜时，＜0，这表明P点在右方，对来说，它是虚物。由（1）式可知，此时＞ 0，由可知＞0，又由＜0可知＜0，所以此时的光路图如图复解16 – 2 – 3 。

评分标准 本题25分。第1问17分，其中（1）、（2）、（3）式各2分，（4）式分，（5）式3分，结论4分；第2问8分，其中图复解16 – 2 - 1，16 –2 - 3各给3分，图复解16 – 2 - 2给2分。

三、根据题中所给的条件，当圆环内通过电流I时，圆环中心的磁感强度
B =
穿过圆环的磁量可近似为 φ ≈ B C = （1）
根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小
（2）
圆环的电阻 R = （3）
根据题设条件r = 0.05 m, , I = 100 A, ≤安培/ 年 ≈ 3×安培/秒，代入（3）式得
R ≤ 3× （4）
由电阻与电阻率、导线截面积S、长度l的关系R = 及已知导线的直径d = 1mm ,环半径r = 5mm ，得电阻率
ρ = 。
评分标准 本题25分。求得（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式各得5分；其中（5）式只要数量级对即可。

四、1、双星均绕它们的连线的中点作圆周运动，设运动速度率为v，向心加速度满足下面的方程： （1）
（2）
周期 （3）
2．根据观测结果，星体的运动周期
＜ （4）
这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其它指向中心的作用力。按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量位于中点处的质点相同。考虑暗物质作用于后双星的速度即为观察到的速度 ，则有

因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由（4）式得
（7）
把（2）、（6）式代入（7）式得
（8）
设所求暗物质的密度为ρ，则有
（9）
评分标准 本题20分。第1问5分；第2问15分。求得（6）式给8分，求得（9）式给7分。

五．本题可能有多种解法，在此提供两种解法。
解法一
1．（1）电阻图变形。
此题连好的线路的平面图如图复解16–5-1所示。现将电阻环改画成三角形，1、3、5三点为顶点，2、4、6三点为三边中点，如图复解16–5-2与图复解16–5-3所示，整个连好的线路相当于把的三个顶点分别接到的三个中点上，图复解16–5-1变为图复解16–5–4 。这样第1问归结为求图复解16–5-4中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。
（2）递推公式。
为使图形简化，讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为r的电阻构成一个三角环，将其顶点接在另一由六个阻值为R的三角环的中点上（如图复解16–5-5所示）。
图复解16–5-6是由六个阻值为的电阻构成的三角环。若图复解16–5-5顶点1、3间的电阻与图复解16–5-6顶点1、3间的电阻阻值相等，我们称图复解16–5-6中的为等效单环电阻。
用符号∥表示电阻的并联，如：
∥
由图复解16–5-5中的对称性可知，1、3两顶点间的电阻等于图复解16-5-7中1、0时的电阻的2倍，即
（1）
同理，图复解16–5-6中1、3两顶点间的电阻为
（2）
由（1）、（2）式得等效单环电阻R′为
（3）
2．第一问
现在考虑把按相反的次序，由内向外依次连接的情况。首先将 接在 外面，求双环- 的等效单环电阻（即〈3〉式中的R′）。这时r = R 。由（3）式得到为

其次，在双环- 外面接上，这时r =。三环 - - 的等效单环电阻 为
由此可得一般公式，（s + 1）环的等效单环电阻可由求出：
（4）
于是，

由（2）式得出由一个环、两个环（-）直至五个环（----）构成的线路1、3点间的电阻为：

答：所求的五个环的1 与 3间的等效电阻确为R 。证毕。
3．第二问
根据五个D组成的圆柱形网络的对称性，的1、3两点等价于的2、4两点。等价线路如图复解16–5-8与图复解16–5-9所示。设二图等价，求图复解16–5-9中的即可。

所以
答：所求值为。

解法二
第一问
图复解16–5-3可看作的接线图，其一半如图复解16–5-10所示，竖直粗线为一短路线。一个环（）构成线路的1与0点间的阻值用表示，根据对称性，。

当接入后，由两个环（类似图复解16 – 5 - 5）构成线路图的一半如图复解16–5-11所示。三个带阴影的电阻与线路围成的三角形（2--0）中的2与间的阻值就是图复解16–5-10中1与0间的阻值。其等效电路如图复解16–5-12所示。图复解16–5-11（或图复解16–5-12）中的1与0点间的阻值用表示。有

再将双环-接入，其一半如图复解16–5-13所示，三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻，其2与间的阻值就对应为，参看图复解16–5-12的等效电路，得

同理，得

由此得
第二问
五个电阻环构成线路后，最外层环（）上2点与4点间的等效电阻可借用图复解16–5-12求得，将图中换成，五个环构成的线路中2与4间阻值可如下求得。
因
故
评分标准 本题25分。第一问15分，第二问10分。

六．设所加匀强电场的场强为E，它在y方向和z方向的分量分别为：
= - E sinθ，= E cosθ
由于物块带负电，电场作用于物块的电力的两个分量分别为
= - q= qE sinθ （1）
= - q= - qE cosθ （2）
在xy平面内，方向沿y轴正方向。垂直于xy平面，被绝缘平面的支持力所平衡，故物块对绝缘平面的正压力的大小N和的大小相等，即
N = qE cosθ
绝缘平面作用于物块的摩擦力
f = μN = qEtanθcosθ = qE sinθ = （3）
f的方向决定于物块移动的方向。
根据题意，物块在xy平面内的运动可看作是一种在力平衡下的缓慢移动。作用于物块的三个力、f和线的拉力T都在xdy平面内。物块在任一位置达到平衡时的受力情况如图复解16 - 6所示。φ为细线与x轴的夹角。
把T沿x和y方向分解得
= -Tcosφ，= -Tsinφ
用和表示f的两个分量，物块平衡时，有
- Tsinφ + = 0 （4）
- Tcosφ + = 0 （5）
由（4）、（5）式得

注意到（3）式，得
T（T-2sinφ）= 0
得 T = 0 或 T = 2sinφ （6）
因要小物块缓慢移动，需要细线牵引，T = 0不符合题意，应舍去。因0＜φ＜π，T = 2sinφ＞0，将T代入（4）、（5）式，有
= Tsinφ- = -cos2φ
= Tcosφ = sin2φ
摩擦力方向的斜率
k =/= -ctg 2φ （7）
k是磨擦力方向与x轴夹角的正切，即摩擦力方向的斜率。因摩擦力始终沿轨道的切线方向，故k也就是轨道切线的斜率。下面通过对（7）式的分析来寻找轨道方程。
当φ = 0 ，k = ∞即在起点A时，轨道的切线与x轴垂直。
当φ = π/2，k = ∞，一种情况是小物块运动到y轴上后，沿y轴作直线运动到O点，但这与题设轨迹移动是一条二次曲线不符，因而它一定表示轨道在O点的切线与x轴垂直。
在二次曲线中，曲线上两点切线相互平行的只有椭圆或圆。又因为A、O两点的切线与它们的连线相垂直，这连线应为曲线的轴线，且在Ox轴上，另一轴在它的垂直平分线上且与y轴平行。曲线与此轴线的交点的切线的斜率为0 。代入（7）式得φ = π/4，故该曲线为圆，其方程为
（8）
评分标准 本题25分。求得（1）、（2）式各给1分，求得（3）式给3分，列出（4）、（5）式各给3分，得到（7）式给6分，得到（8）式再给8分。
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