2011年高考·江苏卷.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。
1．已知集合则
2．函数的单调增区间是__________
3．设复数ｚ满足（i是虚数单位），则的实部是_________
4．根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是
Read a，b
If a>b Then
ma
Else
mb
End If
Print m

5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______
6．某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
7．已知 则的值为__________
8．在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
9．函数是常数，的部分图象如图所示，则f(0)=

10．已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 .
11．已知实数，函数，若，则a的值为________
12．在平面直角坐标系中，已知P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________
13．设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
14．设集合,
, 若 则实数m的取值范围是______________
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解解答适应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
（1）若 求A的值；
（2）若，求的值.
16．如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD

17．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
P

18．如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB

19．已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致
（1）设，若和在区间上单调性一致,求b的取值范围；
（2）设且，若和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值

20．设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立
（1）设的值；
（2）设的通项公式

参考答案

一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法，每小题5分，共计70分。
1．{—1，—2} 2． 3．1 4．3
5． 6．3.2 7． 8．4 9． 10．
11． 12． 13． 14．
二、解答题：
15．本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。满分14分.
解：（1）由题设知，

（2）由
故△ABC是直角三角形，且.
16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。满分14分。
证明：（1）在△PAD中，因为E、F分别为
AP，AD的中点，所以EF//PD.
又因为EF平面PCD，PD平面PCD，
所以直线EF//平面PCD.
（2）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，
所以△ABD为正三角形，因为F是AD的
中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面
ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
17．本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。满分14分.
解：设馐盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得

（1）
所以当时，S取得最大值.
（2）
由（舍）或x=20.
当时，
所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值.
此时装盒的高与底面边长的比值为
18．本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.
解：（1）由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以
（2）直线PA的方程
解得
于是直线AC的斜率为

（3）解法一：
将直线PA的方程代入
则
故直线AB的斜率为
其方程为
解得.
于是直线PB的斜率
因此
解法二：
设.
设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以
从而

因此
19．本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分.
解：
（1）由题意知上恒成立，因为a>0，故
进而上恒成立，所以
因此的取值范围是[
（2）令
若又因为，
所以函数在上不是单调性一致的，因此
现设；
当时，
因此，当时，
故由题设得
从而
因此时等号成立，
又当，从而当
故当函数上单调性一致，因此的最大值为
20．本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。
解：（1）由题设知，当，
即，
从而
所以的值为8。
（2）由题设知，当
，
两式相减得
所以当成等差数列，且也成等差数列
从而当时， （*）
且，
即成等差数列，
从而，
故由（*）式知
当时，设
当，从而由（*）式知
故
从而，于是
因此，对任意都成立，又由可知，
解得
因此，数列为等差数列，由
所以数列的通项公式为
数学II（附加题）
选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵，向量，求向量，使得．
选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．（本小题满分10分）
如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。
（1）当时，求的长；
（2）当时，求的长。

23．（本小题满分10分）
设整数，是平面直角坐标系中的点，其中
（1）记为满足的点的个数，求；
（2）记为满足是整数的点的个数，求

附加题参考答案

21．【选做题】
B．选修4-2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力。满分10分。
解：
设，从而
解得
C．选修4-4：坐标系与参数方程
本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力，满分10分。
解：由题设知，椭圆的长半轴长，短半轴长，从而，所以右焦点为（4，0），将已知直线的参数方程化为普通方程：
故所求直线的斜率为，因此其方程为
22．【必做题】本小题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力，满分10分。
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则各点的坐标为，
所以
设平面DMN的法向量为

即，
则是平面DMN的一个法向量。从而
（1）因为，所以，
解得
所以
（2）因为
所以
因为，
解得
根据图形和（1）的结论可知，从而CM的长为
23．【必做题】本小题主要考查计数原理，考查探究能力，满分10分。
解：（1）点P的坐标满足条件：
（2）设为正整数，记为满足题设条件以及的点P的个数，只要讨论的情形，由知
设
所以
将代入上式，化简得
所以

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