江西省吉水县白沙中学九年级数学上册《第三章 证明（三）》回顾与思考教案1 北师大版.doc

证明（三）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经对平行四边形、矩形、菱形、正方形的一些相关性质和判定的定理有所了解，在本章前面几节课中，又学习了三角形中位线的定义和性质，并探索了连接四边形各边中点所成的四边形的形状等结论，还通过特殊四边形的学习，掌握了直角三角形斜边中线的性质以及判定一个三角形为直角三角形的定理。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，已经经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会了合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。掌握了简单证明的方法，解决了简单的现实问题，同时在以前的数学学习中学生已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作与交流的能力。

二、教学任务分析
教科书基于学生对平行四边形、特殊平行四边形性质判定扎实掌握的基础之上，提出了本课的具体学习任务：体会在证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法。通过小组的交流讨论，使学生对所学内容在思想方法上有一定的提升。
为此，本节课的教学目标是：
①能够理顺平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，熟练掌握这些四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述已知、求证、证明。
②掌握三角形中位线的定义和性质，能够推导出依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是什么特殊四边形。
③会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
④学会对证明方法的总结。

三、教学过程分析
本节课是证明（三）回顾与思考的第一个课时，这一课时主要是对定理的理顺，由于在证明（一）、（二）中，一些相关的定理曾以结论的形式串联总结过，因此学生已经了解定理及一些它们之间的关系，而且有一定的能力可以将这些定理以一个线索串联，所以这一课时共分四个环节：第一个环节，台下准备——学生搜集整理资料；第二环节：台上展示——学生创设线索展示成绩；第三环节：你圈我点——师生共同反思小结；第四环节：布置作业。其中第二个环节分别有五个展示板块。

第一环节 台下准备——学生搜集整理资料
活动内容：
学生以小组为单位，以特殊四边形之间的关系为主线索，将本章节的定理进行整理，找到各知识点间的联系，进行串联。根据其中的知识点，选择合适的例题诠释。最后每位同学以十六开手抄报的形式展示在班级文化栏中。
教师鼓励学有余力的同学，对一些证明方法、题型进行整理，让大家分享一些窍门和技巧；也鼓励有困难的同学将自己模糊不懂的地方，体现在自己报纸的某个专栏上，让其他同学一起来思考共同解决。
活动目的：活动中学生能再次回顾所学定理的内容及意义，通过学生自己主动地翻阅辅导资料、总结、讨论，清晰地梳理出了定理之间、四边形之间的关系，而且印象深刻。另外，采用学生搜集整理的方式，会比老师上课按某一条脉络串联知识点更全面，同时还培养学生善于自查、乐于互助、勇于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。将“课上老师讲，课下要我背”的被动学习方式，变成了“课下我要整理，课上向大家展示”的主动学习意识。很大程度地提高了学生的学习兴趣，增强了学生学习的主动性。
活动的实际效果：
这个活动所产生的所有作品，教师都将在课前全部以墙报的形式展示，让同学之间充分地交流、学习。内容所涉及到的知识点、定理的相关证明方法的总结等，在教师整理之后将其中比较有代表性的内容，和学生出现的比较集中的问题，在复习课上给以重点强调，大大提高了课堂效率。同时由于一些学困生在课下得到了帮助，使得他们不再畏惧复习课，害怕提问，而是更加自信地展示自己付出的努力。因为学困生的提高也使得小组更乐于团结协作，既抓好了学生学习行为习惯的养成，也同时营造了良好的学风氛围。

第二环节 台上展示——学生创设线索展示成绩
教师和学生一起回顾本章的主要内容。
第一组展示 以“四边形判定”为线索
内容：
1.从四边形到正方形的递进式关系出发，以特殊四边形的判定定理为线索，进行复习回顾。
这个环节，展示的同学与其他同学以“问答”的互动形式来完成探索、回顾的过程，共同完成以上的关系图。
老师需要在这个环节进行一些补充：
第一，定理的补充：四边形→矩形；四边形→菱形。即，有三个角是直角的四边形是矩形；四条边都相等四边形是菱形。强调这是建立在四边形基础上的判定定理，与前面建立在平行四边形基础上要有所区别。
第二，要求学生对每个定理都应该能用数学符号语言表述已知、求证、证明，并且会应用定理证明其他命题。
第三，总结出完整地理顺这些判定定理，首先要清楚四边形到正方形，是从一般到特殊的过程；其次要明白补充的条件是边→角→对角线的从外到内的过程。
2.应用定理完成例题
例1.如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。
求证：①四边形AEDF是菱形
②当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
目的：教师和学生一起回顾本章的主要判定定理，并通过四边形之间由一般到特殊的递进关系将定理串联，帮助学生理解和掌握。虽然教学大纲已不在要求学生去枯燥地背定理，可只有对定理进行理解和掌握才能应用定理。特别是根据定理分析已知、求证，不仅帮助学生分清楚定理或者命题的条件和结论部分，还锻炼了学生恰当应用数学符号语言的能力。
实际效果：在学生回答和补充的过程中，教师画龙点睛地把窍门让学生领悟到，让学生把判定定理这条线索整理得更加清晰、完整。
第二组展示 以“四边形性质定理”为线索
内容：以特殊四边形的性质定理为线索，进行复习回顾。

边
角
对角线
平行四边形
对边平行，对边相等
对角相等
对角线互相平分
矩形
对边平行，对边相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线相等

菱形

对边平行，四边相等

对角相等
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线平分一组对角

正方形

对边平行，四边相等

四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
对角线平分一组对角
展示的学生用“问答”的形式带领学生将表格完成，并讨论出性质的相同点、不同点和联系点。应用性质完成例题：
D
C
B
A
E
F
O
例2.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，且BE∥DF。
求证：BE＝DF。
教师在这里将这道题进行开放处理：
例2’ 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，_________,求证：BE＝DF或BE∥DF。由学生来填加适当的条件，使得命题成立并证明。学生可以在证明的过程中找到针对条件最简单的判定定理。
教师通过开放例题给学生传递的是一种总结证明方法的信息：根据特殊四边形的性质，学生应该能够体会到，在证明命题时有了很多新的工具。比如证明平行时，除了以前的同位角、内错角等，还先证明平行四边形；在证明边等时，除了全等，还可以分析所证线段是否为特殊四边形对边、矩形的对角线等。
目的：这个环节教师和学生一起回顾本章特殊四边形的主要性质定理，并通过对定理的分析，体会到了证明的必要性，掌握了一些常规证明方法和工具。
实际效果：学生总结完性质定理后，教师给补充的证明方法还不够细致，这里教师只是再一次做个点拨，还要留给学生课下自己去搜集整理，作为一个复习，回顾整个证明（一）、（二）、（三）的线索。
第三组展示 以“三角形的中位线和中线”为线索
内容：
这一章节中，学习了两个与三角形有关的定理，三角形中位线的定义和性质定理，直角三角形斜边中线的性质定理以及利用中线判定直角三角形的定理。
所以，这个环节上，老师选取了学生总结出的几道比较有代表性的例题，帮助学生加深对定理理解，增强恰当应用定理的意识。
G
H
F
D
A
E
B
C

例3.如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点。求证：四边形EGFH是平行四边形。
E
F
B
C
M
A
N

例4.如图，已知：△ABC，CF⊥AB，BE⊥AC，M、N分别为BC、EF中点，求证：MN⊥EF。
拓展例4’，变化条件和结论
如图，已知：△ABC中，M、N分别为BC、EF中点，MN⊥EF，CF⊥AB，求证：BE⊥AC

E
F
D
C
B
A

例5.如图在△ABC中，∠BAC＝90°，D、E、F、分别是BC、CA、AB边的中点。
求证：AD＝EF

目的：这次展示，虽然是以学生总结的例题形式出现，可非常具有代表性的三道例题，已经能够让学生清楚认识到，两个有关三角形的性质定理证明的必要性和应用的方法。
实际效果：学生能够很好地完成这一展示，并且对上一环节中证明方法的总结，又多了一个需要补充拓展的工具。
第四组展示 以“三角形中位线”为线索
内容：
老师选取学生作品当中最经典的一个问题情景：依次连接四边形各边中点所得到的图形，请添加合理的条件并提出问题，回答问题，简单口述理由。
学生所提的问题应该囊括在以下几个问题：
1.连结任意四边形各边中点得到什么图形？
2.满足什么条件的四边形，连结其各边中点可以得到矩形？菱形？正方形？
3.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的各边中点又可以得到什么图形？
最后教师要引导学生总结出：原四边形对角线的位置或数量关系，决定了所得新四边形邻边的位置和数量关系，依此来决定所得四边形的形状。
教师还可以根据学情自己加入一些与探索类问题相关联的小问题。
如：原来的四边形面积为a，这样依次内接n次得到的新四边形面积如何表示？对角线相等的四边形依次这样内接，得到的四边形有什么规律？原来对角线都是10，则第2n+1个图形的周长是多少？等等。
目的：这个环节首先应用了三角形中位线的性质定理，并再次涉及到平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理应用，还应用到了这四种四边形以及等腰梯形有关对角线的性质。是对前三个展示环节的又一次应用和反馈。
实际效果：
学生在本环节的问题情景下提出的问题是比较多样的，但老师呈现出来的是一个比较全面的问题串，所以这就要求老师要在学生你问我答的基础上不断补充、分类。最后让学生体会到，这个问题主要分为两个部分。第一部分是原四边形增加什么条件可以让接出的四边形成为特殊四边形；第二个部分是，特殊的四边形会接出什么样的四边形。分析清楚了分类方式也就加深了学生对“内接中点得到四边形”这个知识点的理解。
教师所设置的拓展题目，在复习课上体现一个小的拔高，小的梯度，保证学困生自信的同时，不忘提高中、上等学生的探究能力。
第五组展示 以“三角形与梯形的关系”为线索
内容：
展示的同学让其他同学在证明“等腰梯形同一底上的两个角相等”这个性质定理的过程中，联想到了“等腰三角形的两个底角相等”，并大胆猜想了他们之间的联系。让大家认同到，三角形是一个基本图形的作用，以及研究多边形性质从三角形、四边形开始的必要性。
接着作为一个拓展，他向大家介绍了梯形的中位线的定义，并一同经历猜想梯形中位线的性质，证明猜想的结论这样一个探究的过程。
目的：了解四边形和三角形之间的联系，它们之间的相互转化，以及以三角形作为基本向四边形或多边形拓展的研究方向。
实际效果：三角形与其他四边形的联系可以进一步延伸，例如直角三角形斜边中线是斜边一半在矩形中的证明等等。教师主要是对展示的同学这种认真仔细研究、主动寻找规律的学习品质给予鼓励和肯定，让学生更多地去享受探索的过程，并不对补充的知识有过多要求或诠释。

第三环节 你圈我点——师生共同反思小结
内容：
课堂小结，让学生们互相提问、解答，吸收复习课上所回顾的内容，各自查漏补缺，将模糊不懂的理解透彻。
目的：让学生对本节课的学习方法和知识点的收获进行回顾、梳理，同时分析自己还没掌握透彻的难点、存在的问题和不足，及时向老师或者同学请教。
实际效果：教师可以根据学生的展示了解每一位学生的学习状况，适时调整教学，帮助学生查漏补缺，完善知识体系。

第四环节 布置作业
内容：每小组完成一份第二课时的复习提纲。
A层，所有学生都需要将课本复习题，逐个以知识点归类，并按兴趣搜集某知识点的拓展题目。
B层，根据本章节的复习方式，结合证明（一）、（二）进行全面的回顾复习，完成第二课时的部分提纲，从给定的六个公理及有关概念的定义出发，通过逻辑推理证明，得到平行线、三角形和平行四边形等基本图形的有关结论，完成初中阶段几何局部的公理化体系。
实际效果：有关本章一些特殊的性质和联系，如从菱形面积，总结到对角线垂直的任意四边形面积；由梯形的几条特殊辅助线拓展的梯形与特殊三角形和平行四边形、矩形之间的联系等知识点，学生也在总结后进行了展示，完成得比较有水平，并在展示的时候充满自信，合理地分工使得没有一个学困生被抛在研讨范围之外。

四、教学反思
1、复习课不是习题课
不要让学生感觉到复习课，就是老师把所学过的知识用提问的方式回顾后，再用大量练习题或难题的讲解替代了真正意义上的复习。我觉得一定要让学生在复习课上有新鲜的感觉，有主动权。使得每位学生都能在复习课上充分地思考，这一阶段所学内容之间的联系，用积极的心态、合作的方式把知识点串联起来，发现一些题型之间的规律，总结出解决方法上的窍门。
2、给学生是展示的空间，获得的是一份精彩
有很多时候，我不肯定自己这种做法，认为太浪费时间了。如果在课堂上以我为主，教学进度会更快，涉及到的题型、知识点更多，很担心这样继续下去自己的学生见到的会比别人少很多。其实恰恰相反，如果我来讲，学生是被动的，一个班只有三分之一的学生愿意懈怠地被动接受，还有三分之一的学生会囫囵吞枣地了解皮毛，再有三分之一的学生则从上课起就因为缺少信心和兴趣，注意力游离在课堂之外。
时间长了我发现，放手给学生之后，他们的思想越来越成熟，知识点安排得越来越紧密，方法也越来越新颖了。真是一节课下来会感动连连、惊喜连连。所以我和孩子们都喜欢上复习课，因为他们感觉到，每章节的复习课就像他们的汇报演出，他们将这一章节所学到的内容，通过自己的各方面才华，更完美地展示给老师，分享给其他同学。但台上一分钟，台下十年功。所以，我的复习课课堂是延续到课下的，所谓复习只是给学生提供一个舞台。
3、需要改进的方面
以学生为主体复习的时候，知识点应该挖得再深再透一点，特别是用一个小题诠释一个小知识点，这点做得不够。总的来看，这节课比较平和，虽然老师设计了小的难度，可不够透，需要在以后的教学中多总结经验，将知识更系统化，让呈现规律的东西更有可探究的空间。

五、教学评析
实际上，袁老师做得已经十分透彻了，希望一堂课完全透彻解决一章有关问题，是十分困难的。我们从袁老师的课上，看到了学生的自主学习、乐于探究、交流的品质，这显然是长期师生互动的结果。
当然，如果你初次使用这种复习课的教学模式，可能要达到袁老师这样的课堂容量和效果是困难的，万事开头难，大胆尝试，你同样可以取得教学的成果。