山东省滕州市洪绪中学九年级数学上册《2.2 配方法（1）》教学案 北师大版 北师大版.doc

《2.2配方法（1）》

教学目标：
1.会用开平方法解形如(x＋m)2＝n (n≥0)的方程；
2.理解一元二次方程的解法——配方法．
3.把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n0)的形式，体会转化的数学思想.
教学重点：利用配方法解一元二次方程.
教学难点： 把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n0)的形式
教学过程：
一、情景导入 明确目标
教师活动：组织教学，检查学生的情况，及时收集学生的各种信息.
[师].提问：同学们, 在生活中,很多搭配是要附合自然因素才能够和谐,比如,桌子必然也要搭配凳子,衣服固然要搭配裤子.......什么是搭配呢?
[生] 按适当的标准或比例加以配合或分配.
[生] 安排使互相配合,小王和小李搭配参加混合双打.
[师].很好，我们一起来看看数学中又是怎么样搭配的呢?首先看本课的学习目标.
1.会用开平方法解形如(x＋m)2＝n (n≥0)的方程；
2.理解一元二次方程的解法——配方法．
3.把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n0)的形式，体会转化的数学思想.
设计意图：出其不意让学生以为老师在上语文,调动学生的积极性，增加学生学习数学的兴趣，也有助于学生对配方的理解.明确目标,知道自己在本节课应该学到什么知识.
二、自主学习 ：
[师]我们已经学习了一元二次方程的定义及有关概念，现在同学们来讨论一下：你能解哪些一元二次方程?
[生甲]等式x2=4就是一元二次方程，像这样类型的方程我们就能解.
[生乙]方程(x+3)2＝9，我们也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等于9，而9的平方根是3和-3，所以(x+3)就等于3或-3，因此x＝0或x＝-6．
[师]乙同学分析得很好，大家听清楚了没有?……好，下面大家看大屏幕(出示投影片)
你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的?
(1)x2＝5； (2)3x2＝0； (3)x2-4＝0； (4)2x2-50＝0；
(5)(x+2)2＝5； (6)(x-3)2＝6； (7)2x2+50＝0．
[生甲]方程(1)的解为 ，-，因为x是5的平方根．
方程(2)的解为0，因为方程3x2＝0可以化为x2＝0，即x是0的平方根．
[生乙]方程(3)可以通过移项化为方程(1)的形式，即x2＝4，所以方程(3)的根为2，-2．
方程(4)也可以通过移项化为方程(2)的形式，即2x2＝50，然后再化为x2＝25，因此
方程(4)的根为5，-5．
[生丙]解方程(5)和(6)时，只要把(x+2)和(x-3)当作整体看待，其形式就如方程
(1)，这样方程(5)和(6)即可求解．
方程(5)就是求(x+2)，使它的平方为5，则x+2就等于 或- ，因此，x就等于-2+或-2-．
方程(6)就是求(x-3)，使它的平方为6，则(x-3)就等于 或- ，因此，x等于
3+ 或3-．
[生丁]方程(7)通过移项得2x2＝-50．而由平方根的性质可知：负数没有平方根，所以没有一个实数适合这个方程．
[师]同学们分析得真棒，大家利用平方根的定义求解了一类一元二次方程，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．其中适合方程(7)的实数x不存在，所以原方程无实数解．
从刚才的解题过程中，我们知道了一元二次方程如果有解，则它有两个根，这两个根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我们在书写时，通常用x1、x2表示未知数为x的一元二次方程的两个根．
点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±或mx+n=±（p≥0）．
注意：
(1)方程3x2＝0有两个相等的实数根，即x1=0，x2=0．这与一元一次方程3x=0有一个根x＝0是有区别的．
(2)刚才我们解的一元二次方程，可用形式ax2+c=0来表示．当a、c异号时，方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，ax2+c=0没有实数根．
[师] 好，接下来同学们来看大屏幕(出示投影片),分组讨论讨论．
判断下列方程能否用开平方法来求解?如何解?
(1)x2-4x+4＝2； (2)x2+12x+36＝5．
[生甲]方程(1)能用开平方法求解．因为方程(1)的左边正好是一个完全平方式，右边是一个正数，所以它可以化为(x-2)2＝2．这样利用直接开平方法可得x-2=±，即x1=2+，x2=2-.
[生乙]方程(2)也能用平方法来解，方法同解方程(1)，即原方程化为(x+6)2=5．两边分别开平方，得x+6＝±，
即x1＝-6+，x2＝-6-
[师]很好，同学们基本了解了解一元二次方程的基本思路，谁来给大家叙述一下呢?
[生]解一元二次方程的基本思路是：把原方程变为(x+m)2＝n，然后两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程．
[师]真棒，实际上解一元二次方程的关键是要设法将其转化为一元一次方程，即将原方程“降次”，“降次”也是一种数学方法．
设计意图：巩固直接开平方法解方程为配方法打下基础,降低学习的难度.
三、合作互助 ：
[师]下面我们来看能否求出方程x2+12x-15=0的精确值，同学们先来想一想：(出示投影片)
解方程x2+12x-15=0的困难在哪里?你能将方程x2+12x-15＝0转化成(x+m)2=n的形式吗?
[生]解方程x2+12x-15＝0的困难就是：怎么样能把x2+12x-15=0的左边变成一个完全平方形式，右边变成一个非负数．
[师]噢，那想一想完全平方式的特征是什么?
[生]完全平方公式是:a2±2ab+b2＝(a±b)2
[师]好，下面大家来做一做．(出示投影片)
填上适当的数，使下列等式成立．
(1)x2+12x+ ＝(x+6)2；
(2)x2-4x+ =(x- )2；
(3)x2+8x+ ＝(x+ )2．
[生甲](1)的左边应填上：36． (2)的左边应填上4，右边填；2．
(3)的左边应填上16，右边填：4．
[生乙]老师，我看出来了，这三个等式的左边填的常数是：一次项系数一半的平方；而右边填的是：一次项系数的一半．是吗?
[师]大家说呢?
[生齐声]是．
[师]好，我们理解了完全平方式的特征后，把方程；x2+12x-15＝0转化为(x+m)2＝n的形式．
[师生共析]x2+12x-15＝0，
可以先把常数项移到方程的右边，得
x2+12x＝15．
两边都加上62(一次项系数12的一半的平方)，得
x2+12x+62=15+62，
即(x+6)2＝51．
[师]接下来能否求出方程x2+12x-15＝0的精确值，即梯子底端滑动的距离呢?
[生齐声]能，给方程两边开平方，得x+6＝±，
即x+6＝或x+6＝-
所以x1＝-6+, x2＝-6-．
[师]噢，所以梯子底端滑动了(-6+)m或(-6-)m．
[生]老师，梯子底端滑动的距离是正数，不能是负数，所以x1是原问题的解，而x2不是．
[师]大家说，对吗?
[生齐声]对．
[师]很好，x1，x2是方程x2+12x-15＝0的根，但x2不是原问题的解，所以应舍去．
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x2+12x-15＝0的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法(Solving by completing the square)．
下面同学们来看一例题：(出示投影片)
解方程x2+8x-9＝0．
[师]大家能独立解这个方程吗?
[生齐声]能．
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2+8x＝9．
两边都加上16，得
x2+8x+16＝9+16，（两边同时加上一次项系数一半的平方）
即(x+4)2=25．
开平方，得
x+4＝±5，
即x+4=5或x+4＝-5．
所以x1＝1，x2＝-9．
[师]很好，由此我们可以知道：由配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根．
注；因为在实数范围内任何非负数都有平方根，所以当n≥0时，方程有解；当n<0时，
左边是一个完全平方式，右边是一个负数，因此方程在实数范围内无解．接下来，通过当堂达标来进一步巩固本节所学的内容．
设计意图：学会利用完全平方知识填空,初步配方为后面学习打下基础.通过小组的合作交流，学生发现要把形如的式子如何配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方即加上即可.事实上，通过对配方的感知的过程，学生都能用自己的语言归纳总结出配成完全平方式的方法，这就为下一环节“用配方法解一元二次方程”打好基础。由此也反映出学生善于观察分析的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价值观。
四、当堂达标 ：
解下列方程解下列方程
（1）x2+6x+5=0 （2）x2-10x+25＝7；（3）x2+8x＝1 (4)（1+x）2+2（1+x）-4=0．
解：（1）移项，得：x2+6x=-5
配方：x2+6x+32=-5+32
（x+3）2=4（两边同时加上一次项系数一半的平方）
由此可得：x+3=±2，
即x1=-1，x2=-5.
(2)x2-10x+25＝7，
(x-5)2＝7，
开方得 x-5=±，
即x-5=或x-5=-，
所以x1＝5+，x2＝5-
(3)x2+8x＝1，
配方： x2+8x+16＝1+16，（两边同时加上一次项系数一半的平方）
(x+4)2＝17，
由此可得：x+3＝±，
即x+3＝或x+3＝-．
所以x1＝-3+，x2＝-3-．
（4）去括号，整理得：x2+4x-1=0
移项，得x2+4x=1
配方，得（x+2）2=5
开方得 x+2=±，
即 x1=-2，x2=--2
设计意图：进行当堂达标检测，题目不易过多，但还要涵盖本节知识点，才能全面检测学生的学习效果，所以，设计了几道题目，一是看知识点的应用是否熟练，二是看学生的解答格式是否正确，三是限时练习，养成良好的学习习惯.
四、感悟收获 ：
（1）什么叫配方法？
（2）配方法的基本思路是什么？
（3）怎样配方？
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，让学生畅谈自己的收获、体会，更能加深对知识的理解，达到事半功倍的效果，用交谈的语气鼓励学生踊跃发言，培养学生语言表达能力
板书设计：
23.2.3一元二次方程的解法——配方法
是（直接开平方）
x2+8x-9＝0

一元二次方程
一元一次方程
否
转化
例解方程x2+12x-15=0