九年级上相似三角形的性质应用参考资料沪科版.doc

沪科版.九年级上.相似三角形的性质应用.参考资料

相似三角形具有许多重要性质：对应边成比例，对应角相等，对应线段（角平分线、中线和高）的比以及周长之比都等于相似比，面积比等于相似比的平方. 这些性质在解题中有着广泛的应用.现举例说明如下,供同学们参考.
一、求线段长或线段比
例1 如图1，在 等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=600，BP=1，CD=，求△ABC的边长. A
解析: 设△ABC的边长为x,则PC=x －1. D
在△APB和△PDC中,因为∠APB=∠C+∠PAC=600+∠PAC,
∠PDC=∠APD+∠PAC=600+∠PAC, 故∠APB=∠PDC. 又∠B=∠C, B P C
所以△APB∽△PDC,则=,即=,解得x=3. 图1
例2 如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E.若AF: FD=1:3,则AE: EB=_____; 若AF: FD=1:n (n>0),则AE: EB=_____.
解析: 过D作DG∥AB交AB于点E. 由D是BC的中点知,DG是△BCE的中位线,故DG=BE.
由DG∥AE得△AEF∽△DGF,则==,而DG=BE,所以=.
同理,当AF: FD=1: n (n>0)时, AE: EB=1:2n.
A A D C
E
F G D E F O
B D C B C A E B
图2 图3 图4 G
二、求面积或面积比
例3 如图3,△ABC中,DE∥BC, AD: DB=2:1,梯形DBCE的面积是10cm2,求△ABC的面积.
解析: 由DE∥BC知△ADE∽△ABC,则S△ADE:S△ABC=(AD:AB)2.
又由AD:DB=2:1,得AD:AB=2:3. 于是有= ()2 = .
解得S△ABC=18(cm2).
例4 如图4, ABCD中,E是AB的中点,F是AD的中点,EF交AC于点O, FE的延长线交CB的延长线于G点,那么S△AOF:S△COG=_______.
解析: 易证△AEF≌△BEG, 得AF=BG, 则有===.
又∵△AOF∽△COG, ∴S△AOF:S△COG =(AF:CG)2= 1:9.
三、证明角相等
例5 如图5,在Rt△AOD中,∠AOD=900,AO=OB=BC=CD. A
(1)∠3与∠4有何关系?证明你的结论; 4
(2)计算∠1+∠2+∠3的度数. 1 2 3
解析: (1)仔细观察图形,可发现△ABC∽△DBA,则可 O B C D
探索出∠3=∠4. 设AO=OB=BC=CD=1,则DB=2,AB=. 图5
∵===, ∠ABC=∠DBA(公共角), A
∴△ABC∽△DBA, ∴∠3=∠4.
(2)易知∠1=450, 又∠2+∠3=∠2+∠4=∠1, P E F
∴∠1+∠2+∠3=2∠1=900.
四、证明线段成比例 B D C
例6 如图6,已知△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一 图6
点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F. 求证: BP2=PE·PF.
分析： 待证式中的三条线段在同一直线上,不能确定相似三角形,故考虑利用相等线段进行代换.由题设,依据等腰三角形的性质知,AD垂直平分BC,则有PB=PC,结论转化为证PC2= PE·PF,这可确定△PCE∽△PFC.易证△ABP≌△ACP,得∠ACP=∠ABP,而∠ABP=∠F(因为FC∥AB),故有∠ACP=∠F.又∠FPC是公共角,从而△PCE∽△PFC,于是结论获证.