2018高考文科数学 空间证明 专题突破训练(精编有答案).doc

2018年高考文科数学 空间证明 冲刺
1.如图，直三棱柱中，且，是棱中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.

2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EF分别是线段AD，PB的中点，PA=AB=1.
求证： EF∥平面DCP；
求F到平面PDC的距离.

3.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，分别为的中点，侧面底面，且．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

4.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E，F分别为AD，PC的中点．
（Ⅰ）证明：DF∥平面PBE
（Ⅱ）求点F到平面PBE的距离．

5.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．

6.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE．

7.如图所示，在三棱锥中，平面，分别为线段上的点，且.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.

8.如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（I）求证：BC⊥平面APC；
（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．

9.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，AB=2BD，PD=AD，PD⊥底面ABCD，E为PC上一点，且PE=EC．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若AD=，求三棱锥E﹣CBD的体积．

10.如图，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB．

11.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥C1﹣ABC的体积．

试卷答案
1.
（1）取中点，连结，则∥且.
因为当为中点时，∥且，
所以∥且.
所以四边形为平行四边形，∥，
又因为，，
所以平面；

（2）因为中，，是中点，所以.
又因为直三棱柱中，，，
所以，到的距离为.
因为平面，所以到的距离等于到的距离等于.
设点到平面的距离为.
，，
易求，，解得.
点到平面的距离为.
2.

方法一：
取中点，连接，
分别是中点, ，
为中点，为正方形，，
,四边形为平行四边形，
平面，平面，
平面.

方法二：
取中点，连接，.
是中点，是中点，，
又是中点，是中点，，
，，
又，平面，平面，平面，平面，平面平面.
又平面，平面.

方法三：
取中点，连接，，
在正方形中，是中点，是中点

又是中点，是中点，，
又，
，
，
平面//平面.
平面
平面.

方法一：
平面，到平面的距离等于到平面的距离，
平面，，，在中，
平面，，又 ，,，
平面，又平面，
,故.
，
为直角三角形，，
设到平面的距离为，
则，
到平面的距离.

方法二：
平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
又 平面,是中点，
点到平面的距离等于点到平面距离的2倍.
取中点,连接,由得,
由,,, 平面，
平面，平面，
又 平面，平面平面.
又平面平面，，平面，
平面，
长即为点到平面的距离，
由，，.
点到平面的距离为，
即点到平面的距离为.

3.
（1）连结，则是的中点，为的中点，
故在中，，
且平面，平面，
∴平面；
（2）取的中点，连结，∵，∴，
又平面平面，平面平面，
∴平面，
∴.
4.
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）取PB的中点G，连接EG、FG，由已知结合三角形中位线定理可得DE∥FG且DE=FG，得四边形DEGF为平行四边形，从而可得DF∥EG，再由线面平行的判定可得DF∥平面PBE；
（Ⅱ）利用等积法可得：VD﹣PBE=VP﹣BDE，代入棱锥体积公式可得点F到平面PBE的距离．
【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点G，连接EG、FG，则FG∥BC，且FG=．
∵DE∥BC且DE=BC，∴DE∥FG且DE=FG，
∴四边形DEGF为平行四边形，
∴DF∥EG，又EG⊂平面PBE，DF⊄平面PBE，
∴DF∥平面PBE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DF∥平面PBE，
∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等，
故转化为求D到平面PBE的距离，设为d，
利用等体积法：VD﹣PBE=VP﹣BDE，即．
，
∵，，∴．
∴d=．

5.

【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，
∵ABCD是矩形，
∴O为BD的中点
∵E为PD的中点，
∴EO∥PB．
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC
∴PB∥平面AEC；
（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，
∴V==，
∴AB=，PB==．
作AH⊥PB交PB于H，
由题意可知BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC．
又在三角形PAB中，由射影定理可得：
A到平面PBC的距离．

6.

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直：DE⊥BC，DE⊥EC从而得到线面垂直．
（Ⅱ）要证线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件：在平面BDE内找一条与AF平行的直线，通过平行关系的相互转化可的线线平行继而得到线面平行．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面CDD1C1，DE⊂侧面CDD1C1，
∴DE⊥BC，
在△CDE中，CD=2a， a，则有CD2=CE2+DE2，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥EC，
又BC∩EC=C
∴DE⊥平面BCE．
（Ⅱ）证明：连EF、A1C1，连AC交BD于O，
∵EF，AO，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴AF∥OE
又∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
∴AF∥平面BDE．

7.

（1）证明：由平面，平面，故
由，得为等腰直角三角形，
故，
又，
故平面.
（2）由（1）知，为等腰直角三角形，，
过作垂直于，易知，
又平面，所以，，
设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，
由得，
即，所以，
所以到平面的距离为.

8.

【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．
【分析】（I）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；
（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有VM﹣BCD=VB﹣MDC．分别求出MD长，及△BCD和△MDC面积，利用等积法可得答案．
【解答】证明：（Ⅰ）如图，
∵△PMB为正三角形，
且D为PB的中点，
∴MD⊥PB．
又∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD∥AP，
∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC
∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，
又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，
∴BC⊥平面APC，…
解：（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有VM﹣BCD=VB﹣MDC．
∵AB=10，
∴MB=PB=5，
又BC=3，BC⊥PC，
∴PC=4，
∴．
又，
∴．
在△PBC中，，
又∵MD⊥DC，
∴，
∴
∴
即点B到平面DCM的距离为． …

9.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）在△ABD中，不妨设AB=2，BD=，由余弦定理可得AD，则AD2+BD2=BA2，从而得到BD⊥AD，结合PD⊥底面ABCD，得BD⊥PD，再由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；
（2）过E作EF⊥CD于F，则三棱锥E﹣CBD的高为EF，由已知可得EF．再由（1）知BD，代入三棱锥E﹣CBD的体积公式求解．
【解答】（1）证明：在△ABD中，由余弦定理可得：AD2=BA2+BD2﹣2BA•BD•cos∠DBA，
不妨设AB=2，则由已知AB=2BD，得BD=，
∴，则AD2+BD2=BA2，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，∴BD⊥PD，而AD∩PD=D，
∴BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；
（2）解：过E作EF⊥CD于F，则三棱锥E﹣CBD的高为EF，
由已知可得EF=．
由（1）知BD=AD，
∴三棱锥E﹣CBD的体积V==．

10.

【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）由O，M分别为AB，VA的中点，得OM∥VB，即可得VB∥平面MOC．
（2）由AC=BC，O为AB的中点，得OC⊥AB．
又平面VAB⊥平面ABC，得OC⊥平面VAB．平面MOC⊥平面VAB．
【解答】解：（1）证明　因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB，
又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
所以VB∥平面MOC．
（2）证明　因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．
又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，
所以OC⊥平面VAB．又OC⊂平面MOC，
所以平面MOC⊥平面VAB．

【点评】本题考查了空间线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．
11.

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥AC，由此能证明A1O⊥平面ABC．
（Ⅱ）推导出C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离，从而，由此能求出三棱锥C1﹣ABC的体积．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵AA1=A1C，且O为AC的中点，
∴A1O⊥AC，…
又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，
平面AA1C1C∩平面ABC=AC…
且A1O⊂平面AA1C1C，
∴A1O⊥平面ABC…
解：（Ⅱ）∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC，
即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离…
由（Ⅰ）知A1O⊥平面ABC且，…
∴三棱锥C1﹣ABC的体积：
…