高等数学电子教案：第5章-定积分.doc

章节
第五章 定积分
§1 定积分的概念与性质
课时
2
教
学
目
的
掌握定积分的概念，性质及中值定理
教学
重点
及
突出
方法
定积分的概念，性质及中值定理
教学
难点
及
突破
方法
定积分的概念，性质及中值定理
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社

教

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过

程
教学思路、主要环节、主要内容
我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。
  设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？
  我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。  显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。
定积分的概念：   设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<...<xn-1<xn=b 把区间[a,b]分成n个小区间[x0，x1]，...[xn-1,xn], 在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi并作出和，如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，  这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 记作。 即：
  定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。
      （2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
定积分的性质
  性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差).
           即：
  性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面.
           即：
  性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则≤  （a<b）
  性质(4)：设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a)≤≤M(b-a)
  性质(5)：如果f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ，使下式成立：
          =f(ξ)(b-a)
注：此性质就是定积分中值定理。

章节
第五章 定积分
§2微积分的基本公式
课时
2
教
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目
的
掌握微积分的基本公式
教学
重点
及
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方法
利用微积分的基本公式求定积分
教学
难点
及
突破
方法
变上限的积分求导公式
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资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
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教学思路、主要环节、主要内容
积分上限的函数及其导数
  设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分存在。
  如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x):
  注意：为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积分变量的记法无关）
  定理(1)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在[a,b]上具有导数，并且它的导数是  （a≤x≤b）
  定理(2)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
  注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。
牛顿－莱步尼兹公式
定理　如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则
　。 　(1)
证　已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数
，也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即 (2) ， 在上式中令x = a，得。又由F (x)的定义式及上节定积分的补充规定知F (a) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的F (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。
为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。
注意：公式(1)被称为牛顿-莱布尼兹(Leibniz)公式，它进一步揭示了定积分与原函数(不定积分)之间的联系。它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量。它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。

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第五章 定积分
§3 定积分的换元法和分部积分法
课时
2
教
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目
的
掌握定积分的换元法及定积分的分部积分法
教学
重点
及
突出
方法
定积分的换元法及定积分的分部积分法
教学
难点
及
突破
方法
定积分的换元法及定积分的分部积分法
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社
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教学思路、主要环节、主要内容
定积分的换元法
我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量，在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分。
  定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数；当t在区间[m,n]上变化时，x=g(t)的值在[a,b]上变化，且g(m)=a,g(n)=b；则有定积分的换元公式:

注意：在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换。定积分的换元法与分部积分法。
例题:计算
  解答:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2.于是：

定积分的分部积分法
  计算不定积分有分部积分法，相应地，计算定积分也有分部积分法。
  设u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u'(x)、v'(x)，则有(uv)'=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的定积分，并移向得：
  上式即为定积分的分部积分公式。
计算
  解答：设，且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：
        再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是：

        故：

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第五章 定积分
§反常积分
课时
2
教
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目
的
掌握广义积分的概念
教学
重点
及
突出
方法
广义积分的计算
教学
难点
及
突破
方法
广义积分的计算
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
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教学思路、主要环节、主要内容
定积分的近似计算：定积分近似计算公式的原理：求定积分就是求面积，近似计算公式是对面积的近似求法。原理：实质上是用抛物线逼近曲线段，由此可推出。此公式称为辛卜生公式。近似计算方法很多，但实质上多是曲线逼近（见数值分析）。
在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推广，也就是———广义积分。
无穷限的广义积分
定义1　设函数f(x)在区间[a , +¥ ]上连续，取b>a，若极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +¥ ]上的广义积分，记作，即　(1)，这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。
类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。
设函数f(x)在区间(-¥ ,+¥ )上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-¥ , +¥ )上的广义积分，记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。
上述广义积分统称为无穷限的广义积分。
无界函数的广义积分
现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。
定义2　设函数f(x)在(a,b]上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛。
类似地，设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而在点c的领域内无界，如果两个广义积分与都收敛，则定义
；　　　(2)
否则，就称广义积分发散。

章节
第五章 定积分
习题
课时
2
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目
的
解决第五章的习题中存在的问题。
教学
重点
及
突出
方法
定积分的计算，变上限的积分求导公式，广义积分的计算。
教学
难点
及
突破
方法
补充一些习题及历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔思路。
相关
参考
资料
《数学复习指南》2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社
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程
教学思路、主要环节、主要内容
处理第五章习题中的各种问题，并补充历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔学生的解题思路。
分类讲解习题，提供解题方法及思路。