Hermite插值PPT.ppt

2.2.3 2.2.3 埃尔米特插值埃尔米特插值埃尔米特插值埃尔米特插值 /*Hermite s Interpolation*/*Hermite s Interpolation*/前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在结点取相同值:几何上:两曲线有公共交点 在某些实际问题中，希望近似多项式能更好的密合原来的函数，即不但要求插值多项式在节点上与函数值相等，而且还要求与在节点上导数值相等，甚至要求高阶层数也相等，即提出埃尔米特（Hermite）插值问题。设已给数据点(xi,yi)及(xi,yi),要求找满足插值条件的2n+1次多项式H2n+1(x)如果 且已知 函数表及导数表，则存在唯一次数不超过2n+1次多项式 满足插值条件 定理1一、Hermite插值问题的提法求Hermite插值基函数基函数(1)考查插值问题，已知 寻求满足插值条件 的2n+1次多项式二、基函数构造法 显然,x0,x1,xj-1,xj+1,xn为 的二重零点且 于是其中c为待定常数。(2)考查插值问题，已知 寻求满足插值条件 的2n+1次多项式其中a为待定常数。显然,x0,x1,xj-1,xj+1,xn为 的二重零点且 于是称2n+1次多项式 为Hermite插值的基函数 满足插值条件的2n+1次多项式:称为Hermite插值多项式 于a,b连续,于(a,b)存在，则：三、Hermite插值余项 特例:Hermite插值中,较常用的是过两点的三次Hermite插值(n=1)给定函数值表如下:例1求一次数不超过3次的多项式H3(x),使之满足如下条件：并写出截断误差 的表达式此法实为待定系数法.解法1 先求满足插值条件p2(i)=f(i)(i=1,2,3)的二次多项式，得设所求多项式为：由条件 得：k=2,所以解法2 造重结点的差商表由Newton插值公式得:插值余项插值余项解法3 插值基函数表示法(略)补充补充:反插值问题反插值问题给出 函 数y=sh(x)的 函 数 表,试利 用 此 数表求使y=5的x值。xi2.22.42.62.83.0yi4.4575.4666.6958.19810.018 插值是利用函数 y=f(x)的已知数据,求给定的自变量x所对应的函数y的近似值。而本题则是求已知函数值y所对应的自变量x之值。如果函数y=f(x)的反函数 x=(y)存在，则可把所给数据值 y视为自变量取值，而把x的值视为函数值，对反函数x=(y)进行 插值，即 可 求 得 欲 求 的x，这样的问题称为反插值。例2解由于y=sh(x)为单增函数,所以其反函数存在,现用Newton插值法求解该问题.首先构造反函数的差商表 yixi=(yi)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商 四阶差商四阶差商4.4572.25.4662.40.198226.6952.60.178730.015868.1982.80.160380.013850.0013410.0183.00.143860.011940.001180.00009根据差商表可得xi=(y)的Newton插值多项式从而可得y=5,所以应得的x值为说明说明:反插值法还可用于方程 f(x)=0 的近似求根。对函数y=f(x)进行反插值，求 y=0 所对应的 x 值,即为方程 f(x)=0的近似根。补充题:给定数据表xi0.10.20.30.40.5yi0.70010.40160.1081-0.1744-0.4375试利用此数据求出 y(x)=0 在 0.3，0.4 中的根（以四位小数计算）.