第二型曲线积分PPT课件.ppt
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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 第二型曲线积分 第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分,这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.三、两类曲线积分的联系 一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一 第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一种类型的曲线积分问题.例如一质点受力 的作用沿平面曲线 从点 A 移动到点 B,求力 所作的功,见图 20-2.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为此在曲线 内插入 个分点 一起把有向曲线
2、分成 n个有向小曲线段 若记小曲线设力 在轴方向的投影分别为那么的弧长为 则分割 的细度为段返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又设小曲线段 在 轴上的投影分别为 分别为点 的坐标.记 于是力 在小曲线段 上所作的功其中 为小曲线段 上任一点.因而力 沿曲线 所作的功近似地等于 其中 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当细度 时,上式右边和式的极限就应该是 所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论 的第二型曲线积分.定义1 设函数 定义在平面有向可 求长度曲线 上.对 的任一分割 它把 分 成n个小曲线段返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中 记个小
3、曲线段 的弧长 为 分割 的细度 又设 的分点 在每个小曲线段 上任取一点 若极限 存在且与分割 T 与点 的取法无关,则称此极限为函数 沿有向曲线 L 上的第二型 的坐标为 并记返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页曲线积分,记为 或上述积分(1)也可写作或返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为书写简洁起见,(1)式常简写成 或 式可写成向量形式若L为封闭的有向曲线,则记为 若记 则(1)或 于是,力沿有向曲线 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对质点所作的功为若L为空间有向可求长曲线,为定义在L上的函数,则可按上述办法类 似地定义沿空间有向曲线L上的第二
4、型曲线积分,并记为或简写成返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当把看作三维向量时,(4)式也可表示成(3)式的向量形式.第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关.对同一曲线,当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时,每一小曲线段的方向改变,从而所得的 也随之改变符号,故 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页有 而第一型曲线积分的被积表达式只是函数 与 弧长的乘积,它与曲线L的方向无关.这是两种类型曲线积分的一个重要区别.类似与第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下一些主要性质:1 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 也存在,且 2.若有向曲线 由有向曲线
5、首尾衔接而 成,都存在,则 也存在,且 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.设平面曲线 其中 上具有一阶连续导函数,且 点 的坐标分别为 又设 上的连续函数,则沿 L 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的第二型曲线积分读者可仿照1中定理20.1的方法分别证明由此便可得公式(6).对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分(2)的计算,可 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在 L 上任意选取一点作为起点,沿L所指定的方向前 进,最后回到这一点.例1 计算 其中 L 分别沿图 20-3中的路线:(i)直线段 (
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