第7章 层流边界层理论.doc

第7章 层流边界层理论
7.1 大雷诺数下物体绕流的特性
我们知道，流动雷诺数是度量惯性力和粘性内摩擦切力的相互关系的准则数，大雷诺数下的运动就意味着惯性力的作用远大于粘性力。 所以早年发展起来的非粘性流体力学理论对解决很多实际问题获得了成功。 但是后来的实验和理论分析均发现，无论雷诺数如何大，壁面附近的流动与非粘性流体的流动都有本质上的差别，而且从数学的观点来看，忽略粘性项的非粘性流体远动方程的解并不能满足粘性流体在壁面上无滑移的边界条件，所以不能应用非粘性流体力学理论来解决贴近物面的区域中流体的运动问题。
1904年普朗特第一次提出边界层流动的概念。 他认为对于如水和空气等具有普通粘性的流体绕流物体时，粘性的影晌仅限于贴近物面的薄层中，在这一薄层以外，粘性影响可以忽略，应用经典的非拈性流体力学方程来求解这里的流动是可行的。 普朗特把边界上受到粘性影响的这一薄层称之为边界层，并且根据在大雷诺数下边界层非常薄这一前提，对粘性强体运动方程作了简化，得到了后人称之为普朗特方程的边界层微分方程。 过了四年，他的学生布拉修斯首先运用这一方程成功地求解了零压力梯度平板的边界层问题，得到了计算摩擦阻力的公式。 从此，边界层理论正式成为流体力学的新兴分支而迅速地发展起来。

图7-1 沿薄平板的水流

简单的实验就可以证实普朗特的思想。 例如沿薄平板的水流照片(见图7-1)和直接测量的机翼表面附近的速度分布(见图7-2)，即可以看到边界层的存在。 观察图7-2示中的流动图景，整个流场可以划分为边界层、尾迹流和外部势流三个区域。
在边界层内，流速由壁面上的零值急速地增加到与自由来流速度同数量级的值。 因此沿物面法线方向的速度梯度很大，即使流体的粘性系数较小表现出来的粘性力也较大。 同时，由于速度梯度很大，使得通过边界层的流体具有相当的涡旋强度，流动是有旋的。
当边界层内的粘性有旋流离开物体流入下游时，在物体后面形成尾迹流。 在尾迹流中，初始阶段还带有一定强度的涡旋，速度梯度也还相当显著，但是由于没有了固体壁面的阻滞作用，不能再产生新的涡旋，随着远离物体，原有的涡旋将逐渐扩散和衰减，速度分布渐趋均匀，直至在远下游处尾迹完全消失。
在边界层和尾迹以外的区域，流动的速度梯度很小，即使粘性系数较大的流体粘性力的影响也很小，可以把它忽略，流动可以看成是非粘性的和无旋的。

图7-2 翼型绕流的流动图景
I—边界层 II—尾迹流　III—外部势流

由此可见，当粘性流体绕流物体时，在边界层和尾迹区域内的流动是粘性流体的有旋流动，在边界层和尾迹以外的流动可视为非粘性流体的无旋流动。 因此问题归结为分别讨论这两种运动，然后把所得的解拼合起来，就可以获得整个流场的解。 边界层和外部势流之间并没有明显的分界线(或面〕。 所谓边界层外边界或者说边界层的厚度，即是按一定条件人为规定的。 边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的数值。 雷诺数越大，边界层越薄；反之，随着粘性作用的增长边界层就变厚。 沿着流动方向自物体前缘点开始边界层将逐渐增厚。 边界层流动与管流一样，也可能是层流或湍流。 全部边界层都是层流的，称为层流边界层。 当雷诺数大于临界值时，例如对于平板边界层Re≥3x10—3xl0时，边界层流动将部分转变为湍流，称为混合边界层或湍流边界层。

7.2 边界层的划分与方程
边界层可分成二维边界层和三维边界层来研究。 其中二维边界层包括薄边界层和厚边界层。 根据三维边界层流动情况，三维边界层通常分为两类；一类称为边界片，另一类称为边界区或边界条。

7.2.1 边界片
典型的边界片是除去翼身结合区和翼尖区的后掠翼边界层，如图7-3 的非阴影区。 该区的边界层有三个速度分量和，展向和流向的长度尺度都为翼的特征长度，而法向长度尺度为边界层厚度，因而展向和流向各流动物理量的梯度同量级。 对于等截面无限长后掠翼，各物理量的展向梯度为零，而展向速度分量，因而展向动量方程可仿照流向动量方程那样简化。 在直角坐标系中，定常边界片的微分方程为

(7.2.1)

如果物面曲率较大，离心力引起法向压力变化较大上时，必须考虑法向压力梯度。 外边界的压力梯度仍由无粘流理论确定，也可通过试验测定。
为了正确而有效地求解三维边界片方程，必须正确确定以下几个问题：
(1) 根据具体流动情况选择合适的坐标系，使方程尽量简化，便于求解。 有时为了便于数值计算而选用非正交曲线坐标系。
(2) 正确计算外边界流动条件。 为提高精确性，应考虑粘性流动与无粘流动间的相互作用和分离影响。
(3) 正确确定计算域起始条件。
斜向绕流无限长柱体上的流动是边界片的另一典型例子。 如图7-4所示，这种流动相当于绕无限长等截面的后掠翼流动，边界层内存在三个速度分量，但各速度分量都不随展向坐标变化。 自由流速度分为两个分量和。 如果物面曲率不大，边界层厚度是物面曲率半径的高阶小量时，边界层曲面坐标系的各拉梅系数都为1，则边界片方程为

(7.2.2)

图7-3 斜向绕流无限长柱体
1-分离线； 2-自由流流线；3-表面极限流线

边界条件：
(7.2.3)
显然，方程（7.2.2）中的连续方程和向动量方程不包含，相当于无后掠时外流速度为的二维流动问题，可单独求解。 和与展向自由流分速度及边界片中的分速度无关，这种性质称为“独立性原理”。 由二维方法确定和后，再由向动量方程求。 因此，向动量方程是线性方程，形式上与忽略耗散项的能量方程相同，容易求解。
三维边界片也可用动量积分方程求解，由方程(7.2.2)可以导出向和向动量积分方程。 向动量积分方程的形式和解法与二维问题相同。 以乘连续方程，再减向动量积分方程，沿积分得向动量积分方程。 为常数时，向动量积分方程为
(7.2.4)
其中

仿照向动量积分方程解法，先假设某种单参数或双参数速度分布，然后积分求解。

7.2.2 边界区（边界条）
机翼与机身的结合处、翼梢、细长旋成体的尾迹、管流和涡轮机翼片与轮毂的结合处的边界层都是较窄长的三维流动，有三个分速度。 与边界片不同的是向和向的流动长度尺度都为，比流向的长度尺度小得多。 根据量级分析，边界区的微分方程只能忽略粘性切应力对的导数，对和的导数必须保留，故定常不可压缩边界区的微分方程为

(7.2.5)
上式比边界片方程多了向动量方程、向和向的压力梯度和向的切应力梯度，因此，解边界区方程更为困难。 有时向动量方程中各项的量级很小而被忽略，认为压力沿向不变。
对于功角较大的旋转成体边界层，攻角和旋转作用使流动参数的横向变化较大，边界片方程不能反映近壁区的流动特性，必须采用反映横向变化的边界区方程，可压缩流的边界区方程为
(7.2.6)
式中为旋成体半径；；为旋成体子午线当地切线与轴线夹角。
7.3 边界层的基本概念
严格说，边界层区域与主流区之间并无明显的分界面，通常以速度达到主流区速度的99%作为边界层的外边界。 由边界层外边界到物面的垂直距离为边界层名义厚度，简称边界层厚度，用表示。
与物体的特征长度比起来，一般是比较小的，其数量级可大致如下估计。
图(7-4)所示为平板的平面绕流，来流速度为,平板在方向的宽度为无穷大，在方向的长度为。 单位体积流体的惯性在稳定条件下为,数量级为；单位体积流体粘性力可用来表示，其数量级为。 在边界层内惯性力与粘性力的量级大致相同，则有

由此可得
则 (7.3.1)

图 7-4平板上边面层厚度
从此可知在高雷诺数条件下，边界层远小于被绕流物体的特征长度。 这点与前面实测所给的结果是相符的。
我们还要看到，虽然边界层厚度表示了粘性影响的主要范围，但在解决实际问题时，经常会遇到困难，往往由于速度的测量或计算的误差使的数值产生很大的差异，因此还要从其他方面定义一些边界层厚度的特征量。
7.3.1 边界层排挤厚度
参阅图7-5。

图7-5边界层排挤厚度示意图
单位时间通过边界层某一截面的流体若为理想流体，则其质量流量为

式中为边界层外边界主流的速度，为主流的密度。 由于粘性的影响，实际通过的流体质量流量为

上述两项之差就是因存在粘性而减少的流量的多少，定义一个厚度，使其与的乘积等于因粘性存在，边界层减少的流量，用公式表示即为
(7.3.2)
如果是不可压缩流动则上式
(7.3.3)
称为排挤厚度，也称位移厚度。 所以称排挤厚度是考虑到在流量不变的情况下，边界层减少的流量是由于粘性作用把部分流体排挤到主流区去了；称为位移厚度是考虑到应用理想流体概念计算通道的流量时不能用原来的通道部分的实际几何尺寸，而是考虑边界层由于粘性作用通流能力的减少，即边界要移动一定距离，这样计算通流面积就要比原几何通流面积要减少。 这一边界移动就是位移厚度名称的来源。 这两种名称从不同角度反映了的物理实质。 显然在实际计算中是一个很有意义的物理量，的大小直接反映了通流能力损失的多少。
注意，由于边界层外，则有

则(7.3.3)又可写成
(7.3.4)

7.3.2 动量损失厚度
单位时间内通过边界层某一截面的质量为

若为理想流体，这些质量应具有的动量为

而由于粘性的存在，这些质量实际具有的动量为

上面两式之差就是由于边界层粘性而产生的动量损失。 为了描述这一动量损失也定义一个厚度，称为动量损失厚度，使与边界层外之乘机等于边界层内的动量损失，用公式表示为

则有 (7.3.5)
如为不可压流动
(7.3.6)
也可写成 (7.3.7)
在边界层计算中占有重要地位，直接与动量损失相联系，是计算阻力损失的一个重要参数。

7.3.3 能量损失厚度
单位时间内通过边界层某截面的流体质量，在理想流体情况下，这些质量具有动能为
由于粘性存在，这些质量实际具有动能为

两者之差为边界层的动能损失，类似上面的讨论，也定义一个厚度，称为能量损失厚度，使其与边界层外的乘积等于动能损失，用公式表示为

则有 (7.3.8)
如为不可压缩流上式可写成
(7.3.9)
也可写成 (7.3.10)
与动能损失直接相联系，在边界层内考虑导热和可压缩性时，是很有用的一个参量。

7.4 边界层的求解
相似性解是边界层研究中一个非常重要的概念。 它能使数学得到相当的简化,这就是研究相似解的意义。 应当指出，相似性不是对边界层流动都存在的，只有在外部流动满足一定条件时才存在的相似性解必须在单一的（顺压区或逆压区）速度分布下才有相似解。 因为在绕流的边界层中顺压区和逆压区同时存在的话，速度分布曲线性质差异很大，本来就不相似所以也不可能通过调整比例尺度使其相同。 果德斯坦（Goldstein） 证明指出；当来流速度U（x）与x的乘幂成比例即有时边界层才有相似性解。
当边界层方程具有相似性解时，其流速的分布具有以下性质：如果把任意断面的流速分布图形的坐标用有关尺度因素均化为无量纲坐标，则任意断面处无量纲的流速分布图形均相同。
在某一位置，当地势流流速显然可作为流速的尺度因素。 取某一函数作为坐标的尺度因素。 则有
(7.4.1)
式(7.4.1)即为边界层方程的“相似性解”。 采用无量纲坐标和后，在任意断面处流速分布图形均相同，即与无关。
(7.4.2)
图(7-6)所示为一平板边界层中的流速分布，采用作为流速尺度因素，采用作为坐标的几何尺度因素，而这个数值与边界层厚度成比例。 由图看出不同雷诺数处流速分布均重合为一条直线，说明平板边界层存在相似性解。 图7-6中采用尼古拉兹（J.Nikuradse）的试验数据。

图7-6平板边界层流速分布

当边界层微分方程式存在相似性解时，以后会看到，可以把偏微分方程式组变化为一个常微分方程式，从而带来数学上很大的简化。 问题在于什么情况下才存在相似性解。 不可压缩流体，二维恒定流动边界层微分方程式可写为：
(7.4.3)
(7.4.4)
边界条件为：
(7.4.5)
引进流函数，则
(7.4.6)
连续方程（3-9c）将自动满足. 如果流函数可写为：
(7.4.7)
式中 ，于是流速分量应为
(7.4.8)
(7.4.9)

将(7.4.8)，(7.4.9)两式代入(7.4.3)边界层微分方程式中可得：
(7.4.10)
边界条件为：
(7.4.11)
(7.4.12)
方程式中：
(7.4.13)
(7.4.14)
只有当均为常数，式(7.4.10)才是的常微分方程式，也就是说只是的函数，而这正是相似解所要求的. 由(7.4.13)及(7.4.14)式可得
(7.4.15)
积分此式得
(7.4.16)
(7.4.14)式除以(7.4.16)式，得
(7.4.17)
积分此式得
(7.4.18)
指数为 (7.4.19)
在(7.4.15)式中两个常数的公约数对结果并无影响，因而可令，并不失去结果的普遍性，当时，
， (7.4.20)
C则为积分常数(7.4.18)式说明，当势流流速与成比例时，边界层方程具有相似性解，此时流速分布函数满足：
(7.4.21)
这个方程式的解称为Falkner-Skan解。 由及的关系同样可得到的形式. 由(7.4.16)式得

由(7.4.20)式得
(7.4.22)
相似变量
(7.4.23)
有了流速尺度因素及坐标的尺度因素，流函数可写为：
(7.4.24)

7.5 边界层的分离
由实验可知，当流体绕流非流线型物体时，边界层流动会从物面分离并在物体后面形成尾涡区，从而形成很大的尾涡阻力。 如图7-7所示，它表示了粘性流体绕流圆柱体时流动的分离现象，其中S点就是分离点。 一般说来，当物体在流体中运动时，总是希望尽可能减小阻力，因此研究边界层为什么会从物面分离，如何防止或推迟分离，就成为十分重要的现实问题。 当运动为定常且忽略质量力时，在物面上有：
(7.5.1)
这表明在物面附近速度剖面的曲率只依赖于纵向压力梯度。 又边界层内的压力梯度为：
(7.5.2)
在一般情况下，可能取正值，也可能取负值。 例办沿扩张流道的减速流动，若, 就有；沿收缩流道的加速流动，若,就有。 把压力沿流动方向增加的流动()称为逆压梯度流动，而把压力沿流动方向减少的流动()称为顺压梯度流动。 如图7-7所示的绕圆柱体的流动，在前半部分自前驻点O到最小压力点M的流动就是顺压力梯度流动；在后半部分，自M点到后线点F的流动就是逆压力梯度流动。

图7-7 绕流圆柱体时的分离流动

图7-8 曲面边界层分离形成示意图

图7-9 边界层内的速度分布

随着压力梯度的变号，速度剖面的曲率将改变它的符号。 如图7-8和图7-9a所示，对于顺压力梯度流动，有，此时 <0；另一方面，当流体质点趋近于边界层外边界时，∂u/∂y不断减少并趋于零，因此当时， <0。 由此推出，在顺压力梯度流动区，始终是负的，边界层内速度剖面是一条没有拐点的向外凸的光滑曲线，所有流体质点都是沿着流动方向前进，不会产生边界层分离。 与此相反，对于逆压力梯度流动，有，此时>0，又根据刚才的讨论，当时, <0，于是必然在0<y<δ的某点上出现＝0，这一点就是速度剖面的拐点，如图7-8和图7-9b上的P点。 拐点的出现改变了速度剖面的形状，在拐点以上速度剖面是外凸的，拐点以下速度剖面是内凹的。 随着流体粘性和壁面阻滞影响的累积，逆压区中拐点的位置也在变化。 在最小压力点M处，有，因此＝0，拐点位于物面上；随着流体质点向下游流动，拐点将向外边界移动，而速度剖面变得越来越瘦削。 开始时拐点还比较靠近物面，整个速度剖面仍然保持∂u/∂y >0，所有流体质点还是保持沿流动方向前进。 但是当拐点外移到某一位置时，根据流动的连续性，必然在物面的某点S上出现(∂u/∂y)＝0，从这点开始再往后就有(∂u/∂y)<0，发生了回流，回流与主流相撞，把主流推离物面，就形成了边界层分离现象。 在分离区里，由于回流造成真空使得下游流体倒流过来，碰到主流的冲击又将顺流回去，就形成了明显可见的涡旋区。 当边界层与物面分离后，它就像自由射流一样注入外部势流中，在主流与回流之间形成一条分界线，这条分界线就是从物面离开的零流线T(u＝0)。 脱体的边界层在外部势流携带下，将漂向下游和物体后面的流体混合形成整个尾涡区，由于涡旋损耗动能，因此产生了尾涡阻力。
在分离点附近以及在分离点以后的流动中，由于边界层厚度大幅度地增加，u与v的数量级发生了根本的变化，与u相比v不再是小量，δ<<L的条件也得不到满足，因此推导边界层方程的基本前提不再适用，边界层理论失效。 此时应从N-S方程或其它途径来考虑问题。 其次，在研究分离点以前的边界层流动时，由于外部势流已受到分离流的排挤，往往会明显改变势流中的压力分布，因此在实际计算中，最好采用实测的物面上的压力分布或势流速度分布。
综上所述，边界层分离是逆压力梯度和物面粘性阻滞作用的综合结果。 光有物面的粘性阻滞作用而没有逆压力梯度，不会产生分离，因为没有反推力，流体不会往回跑。 由此可见，顺压力梯度流动永远不会产生分离现象。 如果只有逆压力梯度而没有壁面粘性阻滞作用，也不会产生分离现象，因为没有壁面阻滞作用，运动小的流体质点就不会滞止下来。 参阅图7-1和图7-10a、b的三张照片，其中图7-1所示是平板零冲角绕流，没有逆压力梯度(dp/dx=0)，只有壁面阻滞作用，没有分离；图7-l0a所示是流体垂直地冲向墙面的自由滞止流动，只有逆压力梯度而没有壁面的粘性阻滞作用，流动也没有分离；图7-l0b是在垂直绕流墙面的对称流线上放置了一平板，流动受到了逆压力梯度和壁面阻滞的同时作用，就在平促与路面的拐角处产生了涡旋，边界层从板面分离。

a) 自由滞止流 b) 减速滞止流
图7-10 两个滞止流动照片

还应该着重指出，有了逆压力梯度和壁面粘性阻滞作用这两个因素不一定就产生分离，还要看逆压力梯度的大小，逆压力梯度小可以不产生分离，因此逆压力梯度和壁面粘性阻滞作用同时存在是产生分离的必要条件，但不是充分条件。 如图7-11所示的两翼型绕流照片。 其中图7-11a上由于来流的冲角很小，沿翼面流动的逆压力梯度很小，因此流动并没有发生分离；同样的情形，当来流冲角加大，逆压力梯度增大时，在图7-11b上就看到了流动的分离现象。

a) 无分离流

b) 分离流
图7-11 绕流翼型照片

上面分析了分离现象，那么分离点的位置如何确定呢？根据上面所述，在分离点以前，流体质点都是沿流动方向前进的，因此(∂u/∂y)>0，在分离点以后，发生了回流现象，因此(∂u/∂y)<0。 由此推出，在分离点(x＝x)处：
(7.5.3)
在解出边界层方程后，可由上式确定分离点的位置。

7.6 边界层的积分关系式及其应用
薄的边界层方程的求解有三种解法，即相似解，非相似条件对偏微分方程组的数值解和近似解。 近似解又分为三种方法：积分法、分段相似法和加权残值法这三种近似法积分方用的最多。
边界层方程式虽比N-S方程式有重要的简化，但它仍然是非线性的，只有少数十分特殊情况下，能求出相似性准确解，在一般情况下，常常需要近似的方法求解。 这里我门介绍一个很重要的方法，即近似求出边界层内平均流动特性，次平均特性可以根据边界层方程的积分得到这一积分就是边界层内动量与能量积分关系式，它们是边界层内近似计算的基础。 动量积分关系式是卡门（Karmen）在1921年提出的，所以称为卡门积分关系式，能量积分关系式是Weighardt在1948年提出。 利用积分关系式求解方法又称为单参数近似解法。

7.6.1 边界层动量积分方程式与能量积方程式
二维恒定边界层微分方程式为：
(7.6.1)
(7.6.2)
其边界条件为：
(7.6.3)
(7.6.4)
将（7.6.1）式沿方向积分：
(7.6.5)
式中积分上限为边界层外边缘，该点处，（7.6.5）右侧的积分等于：

（7.6.5）式左侧积分可由分部积法并应用边界层位移厚度及动量损失厚度的定义式

可得
(7.6.6)
此即著名的卡门动量积分方程（momentum integral equation）,是卡门1921年根据动量定理首先导出的，这个方程式对层流与紊流均可适用。 1948年维格哈特(K.Wieghardt)又用相同的方法导出了边界层能量积分方程式（energy integral equation）。 将普朗特边界层微分方程式中每一项均乘以，然后积分
(7.6.7)
并应用能量损失厚度的定义式，积分上限均用
(7.6.8)
最后得到二维不可压缩流恒定流动的层流边界层能量积分方程为
(7.6.9)
对于紊流，能量积分方程式可写为
(7.6.10)

已知耗散功，对于二维流动
(7.6.11)
在边界层中，等项与相比较均为小量,得

也可以写为 (7.6.12)
可见边界层能量积分方程式的右侧代表耗散功，即单位体积流体在单位时间内，由于摩擦切应力使其机械消耗转变为热能而在流动中耗散的能量。 这个过程是不可逆的。 而能量积分方程式的左侧则表示在方向流体能量损失的沿程变化，可见边界层内由于摩擦切应力作功而导致的能量损失均在流动过程中转化为热能而耗散。

7.6.2 二维流动的卡门-波豪森近似方法
对于二维的任意形状物体绕流可采用卡门-波豪森（K.Pohlhausen）的近似方法。 已知动量方程为（7.6.6）式。 坐标系统采用边界层坐标系，为沿绕流物体固体边界自前驻点算起的弧长，为自固体壁面算起沿外法线方向的距离。 与上节所讨论的平板边界层一样，在近似计算中首先假设一个流速分布函数，以通过它得到等各物理量以所表示的关系。 流速分布函数必须满足边界条件：
固体壁面处；无滑动条件。
壁面阻力：
, 为断面处势流流速。 无穿透条件。
边界层外边缘处；与势流流场的衔接。
任意形状的物体绕流将存在压强梯度。 当>0时，速度剖面图会出现拐点。 边界层分离时。
假定流速分布为四次多项式：
(7.6.13)
式中。 对于二维任意形状物体的绕流，并不一定存在相似性解，所以这里并不一定是相似变量。 （7.6.13）式的边界条件为：
(7.6.14)
(7.6.15)
引入无量纲量：
(7.6.16)
称为形状因子（shape factor）它主要决定于绕流物体的形状，也是由绕流物体形状决定的。 （7.6.13）式中的常系数可以由边界条件得出如下：
(7.6.17)
将这些系数代入（7.6.13）式可得边界层内的流速分布为：
(7.6.18)
其中：
(7.6.19)
(7.6.20)
由势流的伯努利方程，形状因子还可表示为：
(7.6.21)
即可以看成压强差与粘性力之比值。
由流速分布（7.6.8）可求解以下各项：
1. 边界层位移厚度

有
(7.6.22)
得 (7.6.23)

2. 边界层动量损失厚度
(7.6.24)
(7.6.25)
3. 壁面切应力

令 (7.6.26)
则 (7.6.27)
由（7.6.23），（7.6.25），（7.6.27）式可知为了求得边界层的位移厚度，动量厚度及壁面切应力必须首先求得边界层厚度，而也由流速分布的形状因子决定。 下面应用动量方程（7.6.7）式，将该式中每一项均乘以，得到：
(7.6.28)
定义第二形状因子（second shape factor）K，令：
(7.6.29)
并定义： (7.6.30)
于是由（7.6.29），得
(7.6.31)
综合以及的公式可得出以下对于任一断面均可适用的一些普适关系：

得
(7.6.32)
边界层形状参数：
(7.6.33)
壁面切应力：
(7.6.34)
微分（7.6.30）式得：

得 (7.6.35)
动量方程式（7.6.28）式可以写为：

有
则动量方程为：
(7.6.36)
其中为的代数方程式：
(7.6.37)
流速分布的形状因子是的函数，对于每一固定的断面，为一个无量纲的定数。

7.7 可压缩边界层
7.7.1 热边界层概念和方程
不可压缩边界层的流体运动速度较低，密度变化很小，能量方程中的压力功和粘性耗散项都很小，因而如果没有外部加热或冷却，边界层的温度变化很小，不必考虑气动热问题。 随着飞机和其他飞行器飞行速度的提高，气流受飞行器强烈压缩和摩擦，在物面附近形成一大的温度梯度薄层，称为温度边界层。 温度边界层内温度变化很大，传热强烈，物面温度很高，前驻点绝热条件下温度增量与马赫数的关系为
采用推导不可压缩边界层微分方程的方法，根据可压缩边界层的流动特性，比较基本运动方程中的各项量级，忽略高阶小量而得可压缩边界层的微分方程。 在大数流动条件下，通常，可压缩边界层的厚度仍是物体特征长度的高阶小量，边界层内的粘性力与惯性力同量级，热传导与对流换热同量级。 因而速度边界层厚度的量级为
(7.7.1)
式中和分别为边界层中的平均密度和平均粘性系数。 温度边界层厚度的量级为

所以速度边界层与温度边界层厚度之比的量级为
(7.7.2)
可见，数是表示粘性动量扩散与导热性能量扩散之比。 边界层中，一般气体的数变化不大，量级为1，故速度边界层厚度与温度边界层厚度同量级。
定常，忽略质量力的二维可压缩边界层方程为

(7.7.3)
边界条件为
(7.7.4)
边界层的压力分布

整理后的总焓形式的边界层能量方程
(7.7.5)
式中
方程（7.7.3）中未知变量为和，未知数多于方程数，必须补充状态方程和输运特征与温度关系式才能封闭，即
(7.7.6)

7.7.2 可压缩边界层的温度关系式和雷诺比拟
由方程（7.7.3）和（7.7.6）看出，一般情况下，边界层的温度分布与等相关。 Busemann和Crocco曾设想在特殊情况下温度分布只与速度分布有关，即。 我们可以从边界层能量方程出发，考察的条件，导出温度与速度的具体关系式。 这些关系式虽是在一定条件下导出的但可看出一般情况下的近似，有一定的物理意义。
从方程（7.7.4）看出，当时，方程的最后一项为零，则方程的特解是
(7.7.7)
意味着边界层中的粘性耗散与热传导平衡。 另外，由于壁面速度为零，故为常数意味着壁面为绝热壁，则绝热壁温为
(7.7.8)
式（7.7.7）称为Busemann-Crocco第一积分关系式。
当和时，则方程（7.7.3）的第二式和方程(7.7.5)分别为
(7.7.9)
(7.7.10)
显然和满足同一方程，故是的线性函数，因而式（7.7.5）的第二解为
(7.7.11)
在壁面上，则积分常数；在外边界，，故积分常数为

因而式（7.7.11）变为
(7.7.12)
在绝热条件下，常数，则上式变为式（7.7.7）；如果取为常数，则上式变为温度与速度之间的关系式
(7.7.13)
上式称为Busemann-Crocco第二积分关系式。
因为，故绝热壁温为

则式（7.7.13）可写为
(7.7.14)
从式（7.7.13）可求得壁面热流量与速度梯度之间的关系。
(7.7.15)
壁面热流量为
(7.7.16)
可见，时，若，流体向壁面放热；时，壁面绝热；时，壁面向流体放热。
式（7.7.16）表明，壁面热流量与壁面摩擦成比例，这正是边界层内粘性耗散与导热性之间的内在联系，因而可得出热交换系数与摩擦系数之间的比拟关系，称为雷诺比拟。 由式（7.7.16）所得的比拟式为
(7.7.17)
令，称s为雷诺比拟因子。

习题二
7.1 对于二维相似层流边界层，确定使与无关的值。
7.2 证明对于相似流，微分下式

可得

7.3 在非绝热壁面条件下，推导可压缩流的位移厚度和动量厚度与不可压缩的对应量和之间的关系（平板）；
由的结果导出绝热壁面条件下的上述关系。
7.4 证明。 其中和分别为不可压和可压的当地表面摩阻（平板）系数。
7.5已知边界层内的速度分布由下列给出其中为边界层厚度，试求
(1) k的值 （2）排挤厚度 （3）动量损失厚度 （4）能量损失厚度
7.6 证明边界层内任一个x=const的截面上有
(1) (2)
上述结论能适用不定常流吗?

- 174 -