经济数学——微积分——中值定理的答案.doc

第四章 中值定理，导数的应用
§4.1 中值定理
一、单项选择题
1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 (A) .
(A) (B)
(C) (D)
2、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是 (B) .
(A) (B)
(C) (D)
3、函数在上满足拉格朗日中值定理的 (B) .
(A) (B) (C) (D)
4、设是内的可导函数，是内任意两点，则 (C) .
(A)
(B) 在之间恰有一点，使
(C) 在之间至少有一点，使
(D) 对于之间任意一点，均有
5、设在上有定义，在内可导，则 (B) .
(A) 当时，存在，使得
(B) 对于任何，有
(C) 当时，存在，使得
(D) 存在，使得
析：ABC均要求在上连续.
二、证明题
1、已知在上连续，在内可导，且.求证至少存在一点，使.
证明 令，则，由题设知在上连续，在内可导，且.所以根据罗尔定理，至少存在一点，使得，即，从而.
2、设在上连续，在内可导，.试证明存在两点，使得.
证明 令,则均在上连续，在内可导.且在内，.根据拉格朗日中值定理,至少存在一点，使得 ；又由柯西中值定理，至少存在一点，使得 ，即，
亦即 .所以存在两点，使得.
3、用拉格朗日中值定理证明：时，.
证明 令，.显然在上连续，在内可导.根据拉格朗日中值定理,，即，
又 ，所以当时，有.
4、证明方程只有一个正实根.
证明 ①存在性 令，在上连续,，据零点定理，至少存在一点，使得，即方程至少有一实根.
②唯一性 用反证法，假设方程有两个实根且，则有，又在上连续，在内可导，根据罗尔定理知，至少存在一点，使得，即，矛盾.所以只有一个实根.
综合①②知，方程只有一个正实根.
§4.2洛必达法则
一、填空题
1、；是型未定式.
2、；是型未定式.
3、；是型未定式.
4、；是型未定式.
5、；是型未定式.
析：
二、单项选择题
1、设为未定式，则存在是也存在的 (A) 条件.
(A) 充分非必要 (B) 必要非充分 (C) 充要 (D) 既非充分也非必要
2、求时，下列各种解法正确的是 (C) .
(A) 用法洛必达则后，求得极限为零
(B) 因为不存在，所以上述极限不存在
(C) 原式
(D) 因为不能用洛必达法则，所以极限不存在
3、下列求极限问题中，能够使用洛必达法则的是 (C) .
(A) (B) (C) (D)
三、用洛必达法则计算下列极限
1、
.
2、.
或.
3、
.
4、,
而 ，所以 .
5、

.
§4.3 导数的应用（一） 函数的单调性

一、单项选择题
1、函数在内 (A) .
(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不单调 (D) 不连续
2、设，则的单调递减区间为 (A) .
(A) (B) (C) (D)
二、求函数的单调区间.
解 定义域，，令，得，列表如下：

↗
↘
↗

三、求函数的单调区间.
解 定义域，,令，得，又为的不可导点，列表如下：

↗
↘
↗

四、利用单调性证明不等式
1、时，.
证明 令，则，，
所以在内单调递增，于是有，从而在内单调递增，所以，即，亦即.
2、时，.
证明 令,则

从而又有在内单调递增，所以，
即 ，亦即.
§4.3 导数的应用（二） 函数的极值
一、单项选择题
1、若函数的极值点是，则必有 (D) .
(A) (B)不存在 (C) (D)或不存在
2、设，则是的 (D) .
(A) 间断点 (B) 可导点 (C) 驻点 (D) 极值点
3、设，则在处 (A) .
(A) 必有极大值 (B) 必有极小值 (C) 没有极值 (D) 是否有极值不能确定
析：,
，即,
,,
在处取得极大值
二、求函数的极值.
解 定义域，，令，得驻点，
列表如下：

↗
极大值点
↘

所以的极大值为,无极小值.
三、求函数的极值.
解 定义域，，
令，得驻点，列表如下：

不存在

↗
不是
极值点
↗
间断
↘
极小
值点
↗

所以的极小值为，无极大值.
四、试求为何值时，函数在点处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出该极值.
解 ，据题设知，即，.
,从而，
所以是的极大值点，极大值.

§4.3 导数的应用（三） 凸性与拐点
一、单项选择题
1、若在区间内，，则在该区间内 (D) .
(A) 单调减少，曲线是凹的 (B) 单调增加，曲线是凹的
(C) 单调减少，曲线是凸的 (D) 单调增加，曲线是凸的
2、若点是曲线的拐点，则 (B) .
(A) (B) (C) (D)
3、曲线的拐点个数为 (C) .
(A) (B) (C) (D)
4、曲线的图形在 (A) .
(A) 内是凹的 (B) 内是凸的
(C) 内是凹的，内是凸的
(D) 内是凸的，内是凹的
5、设在处连续，又，则 (B) .
(A) 是的极小值点 (B) 是的极大值点
(C) 是曲线的拐点
(D) 不是的极值点，也不是曲线的拐点
二、求曲线的凹凸区间与拐点.
解 定义域，，，
令，得，列表得结论如下：

拐点

拐点

三、已知曲线在点处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，试求的值，并写出该曲线的方程.
解 ，由题设知，即
，解得 ，所以曲线的方程为.

§4.3 导数的应用（四） 函数图形的描绘
一、填空题
1、曲线有条渐近线，其方程为.
2、曲线的垂直渐近线为，斜渐近线为.
3、曲线有斜渐近线.
4、曲线有垂直渐近线，斜渐近线.
5、曲线有条渐近线.
析：，是水平渐近线；
是垂直渐近线.
二、求函数的单调区间与极值及此函数曲线的凹凸区间与拐点，并求其渐近线，作出函数的图形.
解 定义域..令，得；令，得，无一阶导数和二阶导数不存在的点.列表得结论如下：

极大值点

拐点

极大值，拐点.
因为，所以为曲线的水平渐近线，曲线无垂直渐近线和斜渐近线.
选取辅助点，做出函数的图形如下：
无垂直渐近线和斜渐近线. 选取辅助点，做出函数的图形如下：

§4.4函数最大值与最小值及其在经济中的应用
一、填空题
1、在区间上的最大值为，最小值为.
2、在区间上的最大值为，最小值为.
取得最大值的点为，取得最小值的点为.
3、设在区间上的最大值为，最小值为，又，则，.
析: (舍) ，
，
，最大值为，
最小值为.

二、单项选择题
1、设，则是在上的 (B) .
(A) 极小值点，但不是最小值点 (B) 极小值点，也是最小值点
(C) 极大值点，但不是最大值点 (D) 极大值点，也是最大值点
2、设，则 (B) .
(A) 一定是的最小值 (B) 一定是的极小值
(C) 一定是的最大值 (D) 一定是的极大值
3、设在某区间内可导且只有一个驻点，则 (C) .
(A) 一定是的极值 (B) 一定不是的极值
(C) 当是的极小值时，一定是在该区间上的最小值；
当是的极大值时，一定是在该区间上的最大值 (D) 以上结论均不正确
三、求函数在上的最大值和最小值.
解 ，令，得，因为
，所以在上的最大值为,最小值为.
四、一商家销售某种商品的价格满足关系（万元/吨），其中为销售量，该商品的成本函数为（万元）.（1）若每销售一吨商品，政府要征税万元，求该商家获最大利润时的销售量；（2）为何值时，政府税收总额最大？
解 (1) 设政府税收总额为，商品销售收入为，则，利润函数为 ；
.
令，得，又，所以当销售量为（吨）时，该商家可获得最大利润.
(2) ，令，得，又，
所以当为万元时，政府税收总额最大.
五、某商品进价为（元/件），根据以往经验，当销售价为（元/件）时，销售量为件（均为正常数,且）.市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价.试问当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润.
解 设表示降价后的销售价，为增加的销售量，为总利润，则由已知
，.从而 ，，
令，得唯一驻点,又 ，所以当时可获得最大利润，故定价 （元），最大利润为
（元）.

六、利用最大、最小值证明：当时，.
证明 令，则，令，得，又，所以在内有极小值，此极小值也是在内的最小值，从而，即时，.

图 4-1