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浅谈微积分在景观建筑设计与预算中的应用

摘要：本文选取了建筑中常见的几种曲线（图形），分别从积分角度求取它们的弧长、面积（表面积）、体积，旨在探讨积分在建筑设计与预算中的应用。
关键字：螺旋线、旋转体、弧长、面积、体积
中图分类号：
0 引言
众所周知，景观建筑设计建筑中应用了很多数学知识，一些数学图形在建筑中的出现，使得建筑物典雅、对称、美观。我们应用微积分的基础知识，探讨在景观建筑设计中的应用，计算这些数学图形的弧长、表面积和体积，为工程预算提供科学的依据。
1、螺旋线[1][2]
一些纪念性景观建筑，如湖北黄石湖北师范学院图书馆前的景观建筑"揽月"，是以一竖直轴为中心，四周以曲线环绕而上，似盘曲而上的中国龙，大气、壮观令人耳目一新。它是来数学中的螺旋线的创意，在实际景观建筑设计与预算中常常涉及到它的曲线长的计算。
建立空间立体笛卡尔直角坐标系，以建筑物底座所在 平面为底面，中间竖直轴线为 轴，建立螺旋线模型。
螺旋线的参数方程为：
由空间弧长公式
（Ⅰ）

实际中常常有多圈，则

实际设计与预算中只需知道曲线与底座平面相交的以点 离轴中心距离 点竖直上方一点 的高度 ，代入计算即可。
2、抛物线[1][2]
在一些大型景观建筑物如火车站、展厅、体育馆，其顶部常用了弧线设计，最典型的是景观建筑的顶部设计。这种设计常以钢筋为结构支撑，上面覆盖以钢化玻璃，如此透光可见度好，美观对称[7]。在建筑设计与预算中常常要考虑弧线长，弧线与一水平轴所围面积。而这种弧线一般符合抛物线。
如图，建立平面笛卡尔直角坐标系，以顶部最高点为原点，此点切线为x轴。
设抛物线为 ，过点 ,则
(1) 求曲线弧长
由平面弧长公式 (Ⅱ)

求弧线与直线 所围面积,把 看作一个 型区域
（2）
由面积公式 ： （Ⅲ）

这里考虑的是用抛物线模拟的，当然实际情况中弧线有可能是符合其它曲线如正弦（余弦）函数的一部分、椭圆的上半部分，则用相关曲线去求。
在实际设计与预算中只需要知道弧线的水平跨度 ，高度 ，代入计算即可。
3．曲径通幽
现代园林景观设计中，常在公园的草坪、小区的绿化带中规划设计出一条" "形小路，多是以鹅卵石点缀路面.在清晨、黄昏沿这种小路散步，有一种回归田园之感。如湖北师范学院教育大楼右侧的草坪小径。在景观建筑设计与预算中常常考虑小路的曲线长度与所占面积。
这种小路的形状常常符合 曲线模拟。
一元三次函数
以小路（曲线）的左侧弯曲之处以原点，建立平面笛卡尔直角坐标系。
（1）求曲线弧长
由平面弧长公式（Ⅱ）

此积分是椭圆型积分，无法直接积分，当 取具体值时，可用Mathmatic软件计算出近似具体值[3]。例如 ，则
（2）小径面积
把 看做 型区域：

由积分面积公式（Ⅲ）

当 即 则是最简单的 一类。
实际运算中需测量出小径的水平宽度a，竖直长度h(h=2a) 代入运算即可。
4.旋转体
在景观建筑中也常常用到一种中间凸（凹）的圆柱体，多用于别墅的楼梯或走廊的栏杆，优美的弧线给人一种优美典雅之美。它们是数学立体图形用于建筑设计的一种美学例子。这种凸（凹）圆柱体小的则是以一个模子浇注混凝土而成，然后表面以水磨石打磨抛光而成；大的则是先用钢筋扎出一个框架，四周合上模板，然后浇注混凝土而成，最后表面也是加水磨石打磨抛光或饰以瓷砖[8]。建筑设计中考虑混凝土、钢筋等用料，自然要考虑其表面积和体积。这种图形的表面常常符合 函数曲线。
A.凸圆柱体
由于圆柱体对称，不妨以对称中心建立空间笛卡尔直角坐标系，设方程为 ，过点（a,b），其方程为 。
（1）表面积[4]
由旋转体面积公式
（Ⅳ）

（2）体积[4]
由旋转体体积公式
（Ⅴ）

实际运算中需测量出凸圆柱体高 ,中间处直径 ，端点处直径 ，过点 , 则代入计算即可。
B.凹圆柱体
由于圆柱体对称，不妨以对称中心建立空间笛卡尔直角坐标系，设方程为 ，过点 ，其方程为
（1）表面积[4]
由旋转体面积公式（Ⅳ）

（2）体积[4]
由旋转体体积公式（Ⅴ）

实际计算中需测量出凸圆柱体高 ,中间处直径 ，端点处直径 ，过点 , 则代入计算即可。
5平底球[1][2 [6]
在广场上或一些建筑物顶上常常看到一些球状建筑物，严格的说是一个球的下面截去了一部分或是一部分埋入了水平面以下。这种建筑物大的美观；小的则可爱对称，尤其广场上的这种"球"颇受小孩喜爱，在景观建筑设计中常常要考虑它的表面积和体积。
以球 球的球心为原点建立空间笛卡尔直角坐标系。球被平面 截去了下部。
（1）表面积
由旋转体面积公式（Ⅳ）

（2）体积
由换元法中球坐标参数公式[5]

由体积公式
（Ⅵ）

（ⅰ）当 即整个球时，
（ⅱ）当 即半个球时，
实际计算时需测量出球的半径 ，球心到水平面的高度 ,代入计算即可。
参考文献
[1]华东师范大学数学系 .数学分析（上.下册.第三版）[M].高等教育出版社.2009
[2]同济大学.高等数学（上.下册.第六版）[M].高等教育出版社.2010
[3]徐安农.Mathmatic数学实验（第二版）[M]. 电子工业出版社.2009
[4]汪先林.在极坐标下定积分的应用[J].安徽教育学院学报,2004 .5, 22（3）:100～101
[5]谢刚.浅谈换元法在数学解题中的应用[J].南京广播电视大学学报，2.2010 :47～49
[6]朱基珍,黄榜彪.应用定积分解决物理问题的关键[J].广西工学院学报, 　1997 .9 ,8（3）:6～11
[7]中国建筑标准设计院. 内装修(2003年合订本,国家建筑标准设计图集J502-1～3) [M].中国计划出版社.2003
[8] 中国建筑标准设计院. 混凝土结构施工图平面整体表示方法制图规则和构造详图（现浇混凝土框架、剪力墙、框架-剪力墙、框支剪力墙结构,国家建筑标准设计图集03G101-1)