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第18章 勾股定理及其逆定理期中复习
一、知识要点：
1、勾股定理：

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．
2、勾股定理的证明
　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
3、勾股定理的适用范围：直角三角形
4、勾股定理的应用：
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
5、勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形
①若，以，，为三边的三角形是直角三角形；
②若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；
③若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；
（2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的。
（3）错误的描述方法：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形”
6、勾股数
（1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
（2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等
（3）用含字母的代数式表示组勾股数：
①（为正整数）；
②（为正整数）
③（，为正整数）
7、勾股定理的应用
解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明。
（1）使用注意事项：前提必须是直角三角形，同时要明确三角形的斜边、直角边分别是什么。
（2）一般解决方法：添加辅助线，构造直角三角形。
8、勾股定理逆定理的应用
特别要注意：应该用两条较短的边的平方与最长的边的平方进行比较，除此之外的比较方式均错误。
9、勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理的应用通常在一道题目里同时出现，应用时须注意区分。

10、互逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
二、例题精讲：
例1、（直接考查勾股定理）在中，．
⑴已知，．求的长
⑵已知，，求的长。

例2、（利用勾股定理测量长度）如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

例3、（利用勾股定理测量长度）如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

例4、（勾股定理和逆定理应用）如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且，那么△DEF是直角三角形吗？为什么？

例5、（利用勾股定理求线段长度）已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

例6、（利用勾股定理逆定理判断垂直）王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？

例7、（利用勾股定理逆定理判断垂直）有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地
高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

例8、（旋转问题）如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长。

例9、（关于翻折问题）如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

例10（关于勾股定理在实际中的应用）如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

例11、（关于最短性问题）如图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3）

三、随堂练习
1、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究间的关系，并说明理由.

2、如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

3、如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？

4、在，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,求证：

5、葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线—盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？
如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
如果树的周长为3 cm，绕一圈升高4cm，则它爬行路程是多少厘米？
如果树的周长为8 cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？

第1题
四、课后作业：
1、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．
第2题
2、种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，
吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
3、已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，
C
O
A
B
D
E
F
第3题图
OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，
则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于                                 cm
4、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
第6题
5、Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（　　）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定
6、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
A、直角三角形B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上答案都不对
1、如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为d(已知d2=400000m2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？

2、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手
中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.

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